1) Rewrite the function f(x) = 3ctgx + 2sinx, when x0=п/6. 2) Rewrite the function f(x) = x - 2cosx + 3tgx, when

Zvonkiy_Nindzya

22

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Дана функция \(f(x) = 3\cdot \ctg x + 2\sin x\), и требуется переписать ее при \(x_0 = \frac{\pi}{6}\).

Для начала, заменим \(\ctg x\) на \(\frac{1}{\tan x}\), так как \(\ctg x = \frac{1}{\tan x}\). Теперь функция выглядит следующим образом: \(f(x) = 3\cdot \frac{1}{\tan x} + 2\sin x\).

Подставим значение \(x_0 = \frac{\pi}{6}\) в полученную функцию: \(f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\cdot \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)} + 2\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\).

Мы знаем, что \(\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\), поэтому можем подставить значения и упростить выражение:

\[f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} + 2\cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} + 1\].

Таким образом, переписанная функция при \(x_0 = \frac{\pi}{6}\) будет \(f(x) = 3\sqrt{3} + 1\).

2) Дана функция \(f(x) = x - 2\cos x + 3\tan x\), и требуется переписать ее при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).

Как и в предыдущей задаче, заменим \(\tan x\) на \(\frac{\sin x}{\cos x}\), так как \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Теперь функция выглядит следующим образом: \(f(x) = x - 2\cos x + 3\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\).

Подставим значение \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) в полученную функцию: \(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - 2\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + 3\cdot \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}\).

Мы знаем, что \(\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), поэтому можем подставить значения и упростить выражение:

\[f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3\cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\].

Упрощаем дробь: \[f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3\cdot 1 = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + 3\].

Таким образом, переписанная функция при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) будет \(f(x) = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} + 3\).

3) Дана функция \(f(x) = 2x^2 - 2\tan x + \sin x\), и требуется переписать ее при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).

В данной задаче нам не нужно заменять какие-либо выражения или подставлять значения. Просто перепишем функцию с заданным значением \(x_0\):

\[f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 - 2\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\].

Упростим выражение: \[f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cdot \frac{\pi^2}{16} - 2\cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi^2}{8} - 2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\].

Таким образом, переписанная функция при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) будет \(f(x) = \frac{\pi^2}{8} - 2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\).

4) Дана функция \(f(x) = \frac{2}{x} - 2\ctg x + 4\sin x\), и требуется переписать ее при \(x_0 = 2\pi\).

Как и в первой задаче, заменим \(\ctg x\) на \(\frac{1}{\tan x}\), так как \(\ctg x = \frac{1}{\tan x}\). Теперь функция выглядит следующим образом: \(f(x) = \frac{2}{x} - 2\cdot \frac{1}{\tan x} + 4\sin x\).

Подставим значение \(x_0 = 2\pi\) в полученную функцию: \(f(2\pi) = \frac{2}{2\pi} - 2\cdot \frac{1}{\tan (2\pi)} + 4\sin (2\pi)\).

Мы знаем, что \(\tan (2\pi)\) равен \(0\) и \(\sin (2\pi)\) равен \(0\), поэтому можем подставить значения и упростить выражение:

\[f(2\pi) = \frac{2}{2\pi} - 2\cdot \frac{1}{0} + 4\cdot 0 = \frac{1}{\pi} - \infty + 0\].

Итак, переписанная функция при \(x_0 = 2\pi\) будет иметь вид \(f(x) = \frac{1}{\pi} - \infty\).

Надеюсь, что я смог дать вам подробный и обстоятельный ответ на каждую задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!