Найдите решение уравнения 4sin^2(x-pi/2)=ctg и определите значения x на интервале от (-5пи ; -4пи

Solnce

62

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение \(4\sin^2(x-\frac{\pi}{2})=\cot x\) и мы хотим найти значения \(x\) на интервале \((-5\pi; -4\pi)\).

Прежде чем начать, давайте различные функции перепишем в терминах одной функции. Мы знаем, что \(\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}\). Подставим это в наше уравнение:

\[4\sin^2(x-\frac{\pi}{2})=\frac{\cos x}{\sin x}\]

Теперь давайте упростим это уравнение. Если мы заметим, что \(\sin^2(x-\frac{\pi}{2}) = \cos^2 x\) (это проверяется с использованием тригонометрических тождеств), то мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[4\cos^2 x=\frac{\cos x}{\sin x}\]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[4\cos^2 x - \frac{\cos x}{\sin x} = 0\]

Факторизуем уравнение:

\[\cos x (4\cos x - \frac{1}{\sin x}) = 0\]

Теперь у нас есть два множителя, \(\cos x\) и \(4\cos x - \frac{1}{\sin x}\), которые могут равняться нулю. Давайте рассмотрим каждую из этих возможностей отдельно.

1. \(\cos x = 0\)

Угол, для которого \(\cos x = 0\), это \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. Чтобы найти значения \(x\) на интервале \((-5\pi; -4\pi)\), мы можем рассмотреть первое положительное значение \(\frac{\pi}{2}\), и добавлять к нему \(\pi\), чтобы получить новые значения на интервале. Таким образом, первое положительное значение \(\frac{\pi}{2}\) находится в диапазоне \((-5\pi; -4\pi)\), а затем мы можем добавить \(\pi\) для других значений:

\[x_1 = \frac{\pi}{2}, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi, \quad x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi, \quad \ldots\]

2. \(4\cos x - \frac{1}{\sin x} = 0\)

Мы должны решить это уравнение отдельно. Умножим обе стороны на \(\sin x\) для упрощения:

\[4\cos x \sin x - 1 = 0\]

Используя тригонометрическую формулу \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), мы можем заменить \(\sin x \cos x\) следующим образом:

\[2\sin x \cos x - 1 = 0\]

Теперь заметим, что это уравнение очень похоже на уравнение квадратного трехчлена. Если мы представим \(\sin x\) как переменную \(u\), то это уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[2u^2 - 1 = 0\]

Решим это уравнение. Для этого добавим 1 к обоим сторонам:

\[2u^2 = 1\]

Теперь разделим на 2:

\[u^2 = \frac{1}{2}\]

Извлечем квадратный корень:

\[u = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\):

\[\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Для значения \(\sin x = \sqrt{\frac{1}{2}}\) мы знаем, что это верно для угла \(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Для значения \(\sin x = -\sqrt{\frac{1}{2}}\) мы знаем, что это верно для углов \(\frac{5\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Однако нам нужно найти значения \(x\) на интервале \((-5\pi; -4\pi)\), поэтому рассмотрим только те значения, которые находятся в этом интервале. Для каждого из двух случаев:

- Для \(\sin x = \sqrt{\frac{1}{2}}\) у нас есть следующие значения:

\[x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi, \quad x_5 = \frac{\pi}{4} + 4\pi, \quad x_6 = \frac{\pi}{4} + 6\pi, \quad \ldots\]

- Для \(\sin x = -\sqrt{\frac{1}{2}}\) у нас есть следующие значения:

\[x_7 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi, \quad x_8 = \frac{5\pi}{4} + 4\pi, \quad x_9 = \frac{5\pi}{4} + 6\pi, \quad \ldots\]

Собирая все значения \(x\) вместе, получаем:

\[x_1 = \frac{\pi}{2}, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi, \quad x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\pi, \quad x_4 = \frac{\pi}{4} + 2\pi, \quad x_5 = \frac{\pi}{4} + 4\pi, \quad x_6 = \frac{\pi}{4} + 6\pi, \quad x_7 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi, \quad x_8 = \frac{5\pi}{4} + 4\pi, \quad x_9 = \frac{5\pi}{4} + 6\pi, \quad \ldots\]

Это решение уравнения \(4\sin^2(x-\frac{\pi}{2})=\cot x\) на интервале \((-5\pi; -4\pi)\).