1. Сформулируйте все типы уравнений (каноническое, параметрическое, общее, в отрезках и с угловым коэффициентом

Всеволод

60

Для решения задачи, сначала нам необходимо определить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Каноническое уравнение прямой выглядит следующим образом: \(Ax + By + C = 0\), где A, B и C - коэффициенты, определяющие прямую.

1. Каноническое уравнение:
Подставим координаты точек A (2;1) и B (4;1) в каноническое уравнение:
Для точки A:
\(A \cdot 2 + B \cdot 1 + C = 0\)
\(2A + B + C = 0\)

Для точки B:
\(A \cdot 4 + B \cdot 1 + C = 0\)
\(4A + B + C = 0\)

Итак, у нас два уравнения: \(2A + B + C = 0\) и \(4A + B + C = 0\).

2. Параметрическое уравнение:
Для построения параметрического уравнения нам необходимо выбрать параметр t, который будет изменяться в диапазоне от минус бесконечности до плюс бесконечности. Затем мы можем записать уравнение в следующем виде:
\(x = x_1 + At\)
\(y = y_1 + Bt\)

Возьмем точку A (2;1) как исходную точку:
\(x = 2 + At\)
\(y = 1 + Bt\)

3. Общее уравнение:
Общее уравнение прямой имеет следующий вид:
\(Ax + By + C = 0\)

Воспользуемся уже найденным каноническим уравнением: \(2A + B + C = 0\) или \(4A + B + C = 0\).
Мы можем выбрать любое из уравнений.

4. Уравнение в отрезках:
Уравнение в отрезках задает участок прямой, ограниченной двумя точками A и B.
Подставим координаты точек в параметрическое уравнение:

\(x = 2 + (4 - 2)t\)
\(y = 1 + (1 - 1)t\)

Упростим:
\(x = 2 + 2t\)
\(y = 1\)

5. Уравнение с угловым коэффициентом:
Угловой коэффициент прямой определяет ее наклон относительно оси x.
Вычислим угловой коэффициент с использованием формулы: \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\)
В нашем случае: \(k = \frac{{1 - 1}}{{4 - 2}}\)
\(k = 0\)

Таким образом, угловой коэффициент равен 0, что означает, что прямая является горизонтальной.

6. Нормальный и направляющий векторы:
Нормальный вектор перпендикулярен прямой и определяет ее ориентацию.
Направляющий вектор параллелен прямой и определяет ее направление.

Для нахождения нормального и направляющего векторов нам необходимо определить разность между координатами точек A и B.

Нормальный вектор: \(\vec{N} = (B - A, -(B - A))\)
\(\vec{N} = (4 - 2, -(1 - 1)) = (2, 0)\)

Направляющий вектор: \(\vec{D} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)
\(\vec{D} = (4 - 2, 1 - 1) = (2, 0)\)

7. Точки пересечения с координатными осями:
Для нахождения точек пересечения с координатными осями, мы должны приравнять x и y к нулю и решить уравнения.

Координаты точки пересечения с осью x:
\(2A + B + C = 0\)
\(2A + 0 + C = 0\) (подставляем y = 0)
\(2A + C = 0\)

Координаты точки пересечения с осью y:
\(A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0\)
\(C = 0\)

Возвращаемся к предыдущему уравнению:
\(2A + C = 0\)
\(2A + 0 = 0\) (подставляем C = 0)
\(A = 0\)

Таким образом, точка пересечения с осью x имеет координаты (0, 0), а точка пересечения с осью y имеет координаты (0, 0).

Графическое представление:

На графике выше показана прямая, проходящая через точки A (2; 1) и B (4; 1). Вы можете заметить, что прямая параллельна оси x и пересекает ось y в точке (0, 0). Координатная плоскость также показана для наглядности.