1. The sequence ( bn ) is a geometric progression. Find the sum of the first seven terms if b2 = 3, b4 = 27, q >

Pechenye

56

1. Для решения этой задачи, сначала нам нужно найти первый член геометрической прогрессии (ан)-a1 и показатель геометрической прогрессии q. Поскольку даны b2 = 3 и b4 = 27, мы можем использовать эти значения, чтобы найти а1 и q.

Первый член геометрической прогрессии (ан) можно найти, используя формулу:
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Подставим значения из условия:
\[3 = a_1 \cdot q^{(2-1)}\]
\[27 = a_1 \cdot q^{(4-1)}\]

Так как у нас два уравнения с двумя неизвестными, можно решить их вместе для нахождения значений a1 и q.

Разделим второе уравнение на первое:
\[\frac{27}{3} = \frac{a_1 \cdot q^{(4-1)}}{a_1 \cdot q^{(2-1)}}\]
\[9 = q^{(4-1)} / q^{(2-1)}\]
\[9 = q^3 / q^1\]
\[9 = q^2\]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
\[81 = q^4\]

Из этого уравнения мы можем найти значение q:
\[q = \sqrt[4]{81}\]
\[q = 3\]

Теперь найдем a1, заменив значение q в любом из наших исходных уравнений:
\[3 = a_1 \cdot 3^{(2-1)}\]
\[3 = a_1 \cdot 3^1\]
\[3 = 3a_1\]
\[a_1 = 1\]

Теперь, когда мы знаем значения a1 и q, мы можем найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
\[S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\]

Подставим значения:
\[S_7 = 1 \cdot \frac{3^7 - 1}{3 - 1}\]
\[S_7 = 1 \cdot \frac{2187 - 1}{2}\]
\[S_7 = 1 \cdot \frac{2186}{2}\]
\[S_7 = 1 \cdot 1093\]
\[S_7 = 1093\]

Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна 1093.

2. Для решения этой задачи нам необходимо найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии с известными значениями a1 и разностью (d).

В данном случае, a1 = 7 и a2 = 10. Нам необходимо найти значение d.

Чтобы найти значение d, мы можем использовать формулу:
\[a_2 = a_1 + d\]

Подставим значения:
\[10 = 7 + d\]
\[d = 3\]

Теперь, когда мы знаем значения a1 и d, мы можем найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

Подставим значения:
\[S_8 = \frac{8}{2}(2 \cdot 7 + (8-1) \cdot 3)\]
\[S_8 = 4(14 + 7 \cdot 3)\]
\[S_8 = 4(14 + 21)\]
\[S_8 = 4(35)\]
\[S_8 = 140\]

Таким образом, сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 140.

3. Для решения этой задачи нам необходимо найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии с известным значением b4 и показателем q.

В данном случае, b4 = 500 и q = 4. Нам нужно найти значение a1 и сумму первых шести членов.

Сначала найдем a1, используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Подставим значения:
\[500 = a_1 \cdot 4^{(4-1)}\]
\[500 = a_1 \cdot 4^3\]
\[500 = 64a_1\]
\[a_1 = \frac{500}{64}\]
\[a_1 = 7.8125\]

Теперь, когда мы знаем значения a1 и q, мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии. Используем формулу:
\[S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\]

Подставим значения:
\[S_6 = 7.8125 \cdot \frac{4^6 - 1}{4 - 1}\]
\[S_6 = 7.8125 \cdot \frac{4096 - 1}{3}\]
\[S_6 = 7.8125 \cdot \frac{4095}{3}\]
\[S_6 = 7.8125 \cdot 1365\]
\[S_6 = 10664.0625\]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 10664.0625.

4. Для решения этой задачи нам нужно найти первый член (a1) и разность (d) арифметической прогрессии.

Нам дано a6 = -34 и не дано a17.

Мы можем использовать формулу для n-го члена арифметической прогрессии, чтобы найти a1 и d:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Заметим, что a6 = a1 + 5d, и у нас нет a17, можно записать a17 через a6:
a17 = a1 + 16d

Теперь у нас есть два уравнения:
a1 + 5d = -34
a1 + 16d = ...

Мы не можем решить их, не зная a17 или разницу d. Здесь не хватает информации для получения определенного решения этой задачи. Возможно, вам было дано дополнительное условие или продолжение задачи, чтобы можно было найти значения a1 и d.