1. В закрытом емкости объемом 10 литров, содержащей гелий при 27 градусах Цельсия и давлении 100 кПа, расположен
1. В закрытом емкости объемом 10 литров, содержащей гелий при 27 градусах Цельсия и давлении 100 кПа, расположен нагревательный элемент. Какая будет конечная температура газа, если нагреватель будет подключен к источнику постоянного напряжения 24 В на протяжении 1 минуты? Каково будет давление гелия в емкости после нагрева? Сопротивление нагревателя составляет 36 Ом. Можно ли пренебречь объемом нагревателя?
Chernaya_Magiya 23
Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение состояния идеального газа \(PV = nRT\), где \(P\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура.1. Сначала найдем количество вещества гелия в закрытой емкости. Для этого воспользуемся уравнением \(PV = nRT\) и выразим количество вещества:
\[n = \frac{{PV}}{{RT}}\]
Подставим известные значения: \(P = 100 \, \text{кПа}\), \(V = 10 \, \text{л}\), \(R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\), \(T = 27 + 273 = 300 \, \text{К}\):
\[n = \frac{{100 \cdot 10}}{{8.31 \cdot 300}} \approx 0.402 \, \text{моль}\]
2. Затем мы можем использовать закон сохранения энергии для нагревания газа. Уравнение закона сохранения энергии:
\[Q = mc\Delta T\]
Где \(Q\) - теплота, \(m\) - масса вещества, \(c\) - удельная теплоемкость, \(\Delta T\) - изменение температуры.
Так как гелий в закрытой емкости не может выйти и войти, то масса гелия останется постоянной. Поэтому можно переписать уравнение следующим образом:
\[Q = nc\Delta T\]
Подставим известные значения: \(Q = IVt\), \(I = \frac{V}{R} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \, \text{А}\), \(V = 24 \, \text{В}\), \(t = 60 \, \text{сек}\). Тепло \(Q\):
\[Q = \frac{2}{3} \cdot 24 \cdot 60 = 960 \, \text{Дж}\]
Удельная теплоемкость гелия примерно равна \(c = 5R/2 \approx 20.77 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\).
Теперь посчитаем изменение температуры:
\(\Delta T = \frac{Q}{nc} = \frac{960}{0.402 \cdot 20.77} \approx 113.57 \, \text{К}\)
3. Теперь мы можем найти конечную температуру газа:
\[T_{\text{конечное}} = T_{\text{начальное}} + \Delta T = 27 + 113.57 = 140.57 \, \text{К}\]
4. Чтобы найти давление гелия в емкости после нагрева, мы можем использовать уравнение состояния идеального газа:
\[P_{\text{конечное}} = \frac{{nRT_{\text{конечное}}}}{{V}}\]
Подставим известные значения: \(n = 0.402 \, \text{моль}\), \(R = 8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\), \(T_{\text{конечное}} = 140.57 \, \text{К}\), \(V = 10 \, \text{л}\):
\[P_{\text{конечное}} = \frac{{0.402 \cdot 8.31 \cdot 140.57}}{{10}} \approx 46.56 \, \text{кПа}\]
Таким образом, конечная температура газа будет примерно 140.57 K, а давление гелия в емкости после нагрева составит примерно 46.56 кПа. Обратите внимание, что мы использовали аппроксимации в наших расчетах и пренебрегли объемом нагревателя, что является допустимым приближением для упрощения задачи.