1. ( ) Вот функция: y = -х3 + 4х – 3 а) Напишите координаты вершины параболы, b) Найдите уравнение оси симметрии

Vinni

20

Хорошо, рассмотрим задачу пошагово:

a) Чтобы найти координаты вершины параболы, мы должны знать, что у параболы в общем виде \(y = ax^2 + bx + c\) вершина находится в точке \((- \frac{b}{2a}, f(- \frac{b}{2a}))\). В данном случае, у нас дана функция \(y = -х^3 + 4х - 3\), так что мы можем сказать, что \(a = -1\), \(b = 4\) и \(c = -3\). Подставим значения в формулу вершины параболы:

\((- \frac{4}{2(-1)} , f(- \frac{4}{2(-1)}))\)

Сокращаем выражение:

\((- \frac{4}{-2} , f(2))\)

\((2 , f(2))\)

Теперь вычислим значение функции в точке \(x = 2\), подставив \(x = 2\) в исходную функцию:

\(f(2) = -2^3 + 4 \cdot 2 - 3 = -8 + 8 - 3 = -3\)

Таким образом, координаты вершины параболы равны \((2, -3)\).

b) Уравнение оси симметрии параболы задается формулой \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае, подставляя значения \(a = -1\) и \(b = 4\), получаем:

\(x = -\frac{4}{2(-1)}\)

Упрощая выражение:

\(x = -\frac{4}{-2}\)

\(x = 2\)

Таким образом, уравнение оси симметрии параболы - \(x = 2\).

c) Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, мы должны найти значения \(x\), при которых \(y\) равно нулю. То есть, нам нужно решить уравнение \(y = -х^3 + 4х - 3 = 0\). Подставляя данную функцию, решим уравнение:

\(-х^3 + 4х - 3 = 0\)

Мы можем заметить, что \(x = 1\) является одним из корней данного уравнения. Используя синтетическое деление, мы можем разделить уравнение на \((x - 1)\):

\[
\begin{array}{c|ccccc}
1 & -1 & 0 & 4 & -3 \\
& & -1 & -1 & 3 \\
\hline
& -1 & -1 & 3 & 0 \\
\end{array}
\]

Таким образом, уравнение \(-х^3 + 4х - 3 = 0\) можно разложить как \((x - 1)(-x^2 - x + 3) = 0\). Решая второй множитель, мы получаем:

\(-x^2 - x + 3 = 0\)

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя дискриминант или другие методы решения квадратных уравнений. Решая, мы получаем два значения \(x\): \(x = -1\) и \(x = 3\).

Таким образом, точки пересечения графика с осями координат - \((1, 0)\), \((-1, 0)\) и \((3, 0)\).

d) Чтобы построить график функции, мы используем координаты вершины параболы и точки пересечения с осями координат, которые мы уже нашли. Давайте изобразим эти точки на графике и примерно нарисуем параболу, проходящую через них. (Ниже следует чертеж.)

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
y & 5 & 7 & 0 & -3 & 0 & -3 & 2 \\
\hline
\end{array}
\]

e) Чтобы определить, в каких квадрантах находится график функции, мы должны рассмотреть знаки координат точек. В первом квадранте (I) все координаты положительные. Во втором квадранте (II) значение \(x\) отрицательное, а значение \(y\) положительное. В третьем квадранте (III) оба значения отрицательные. В четвертом квадранте (IV) значение \(x\) положительное, а значение \(y\) отрицательное.

Таким образом, наш график функции проходит через квадранты II, III и IV.