1. ( ) Вот функция: y = -х3 + 4х – 3 а) Напишите координаты вершины параболы, b) Найдите уравнение оси симметрии

Vinni

20

Хорошо, рассмотрим задачу пошагово:

a) Чтобы найти координаты вершины параболы, мы должны знать, что у параболы в общем виде $y=a{x}^2+bx+c$ вершина находится в точке $(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$. В данном случае, у нас дана функция $y=-{х}^3+4х-3$, так что мы можем сказать, что $a=-1$, $b=4$ и $c=-3$. Подставим значения в формулу вершины параболы:

$(-\frac{4}{2(-1)},f(-\frac{4}{2(-1)}))$

Сокращаем выражение:

$(-\frac{4}{-2},f(2))$

$(2,f(2))$

Теперь вычислим значение функции в точке $x=2$, подставив $x=2$ в исходную функцию:

$f(2)=-2^3+4\cdot 2-3=-8+8-3=-3$

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(2,-3)$.

b) Уравнение оси симметрии параболы задается формулой $x=-\frac{b}{2a}$. В нашем случае, подставляя значения $a=-1$ и $b=4$, получаем:

$x=-\frac{4}{2(-1)}$

Упрощая выражение:

$x=-\frac{4}{-2}$

$x=2$

Таким образом, уравнение оси симметрии параболы - $x=2$.

c) Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, мы должны найти значения $x$, при которых $y$ равно нулю. То есть, нам нужно решить уравнение $y=-{х}^3+4х-3=0$. Подставляя данную функцию, решим уравнение:

$-{х}^3+4х-3=0$

Мы можем заметить, что $x=1$ является одним из корней данного уравнения. Используя синтетическое деление, мы можем разделить уравнение на $(x-1)$:

$$\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& 4& -3\\ & & -1& -1& 3\\ & -1& -1& 3& 0\end{array}$$

Таким образом, уравнение $-{х}^3+4х-3=0$ можно разложить как $(x-1)(-x^2-x+3)=0$. Решая второй множитель, мы получаем:

$-x^2-x+3=0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя дискриминант или другие методы решения квадратных уравнений. Решая, мы получаем два значения $x$: $x=-1$ и $x=3$.

Таким образом, точки пересечения графика с осями координат - $(1,0)$, $(-1,0)$ и $(3,0)$.

d) Чтобы построить график функции, мы используем координаты вершины параболы и точки пересечения с осями координат, которые мы уже нашли. Давайте изобразим эти точки на графике и примерно нарисуем параболу, проходящую через них. (Ниже следует чертеж.)

$$\begin{array}{|cccccccc|}\hline x& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ y& 5& 7& 0& -3& 0& -3& 2\\ \hline\end{array}$$

e) Чтобы определить, в каких квадрантах находится график функции, мы должны рассмотреть знаки координат точек. В первом квадранте (I) все координаты положительные. Во втором квадранте (II) значение $x$ отрицательное, а значение $y$ положительное. В третьем квадранте (III) оба значения отрицательные. В четвертом квадранте (IV) значение $x$ положительное, а значение $y$ отрицательное.

Таким образом, наш график функции проходит через квадранты II, III и IV.