1. Яку період та частоту коливань має човен, який здійснив 10 повних коливань за 25 с? 2. Яку амплітуду, початкову

Тимка

70

1. Чтобы определить период и частоту колебаний челнока, мы можем использовать формулы:

Период (T) - это время, необходимое для выполнения одного полного колебания. Чтобы найти период, мы можем поделить общее время (10 секунд) на количество колебаний (10):

\[T = \frac{{\text{{Время}}}}{{\text{{Количество колебаний}}}} = \frac{{25 \, \text{{с}}}}{{10}} = 2.5 \, \text{{с}}\]

Частота (f) - количество полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Чтобы найти частоту, мы можем использовать обратное значение периода:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2.5 \, \text{{с}}} = 0.4 \, \text{{Гц}}\]

Поэтому челнок имеет период 2.5 секунды и частоту 0.4 Гц.

2. Для анализа заданного уравнения колебаний (\(x = A \sin(0.01 \pi t + \pi/2)\)), мы можем использовать следующие параметры:

Амплитуда (A) - это максимальное расстояние, на которое колеблется система от положения равновесия. В данном случае, амплитуда равна 0.05 метра.

Период (T) - это время, необходимое для выполнения одного полного колебания. Чтобы найти период, мы должны найти значение \(b\) в уравнении \(x = A \sin(bt + \phi)\). В данном случае, \(b = 0.01 \pi\). Зная значение \(b\), мы можем использовать следующую формулу, чтобы найти период:

\[T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{0.01 \pi} = 200 \, \text{сек}\]

Частота (f) - количество полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Мы можем использовать обратное значение периода:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{200 \, \text{сек}} = 0.005 \, \text{Гц}\]

Початкова фаза (\(\phi\)) - это смещение графика колебаний в горизонтальном направлении. В данном случае, \(\phi = \pi/2\).

Циклическая частота (\(\omega\)) - это изменение величины колебаний в единицу времени. Мы можем использовать значение \(b\) из уравнения колебаний для определения циклической частоты:

\(\omega = b = 0.01 \pi\)

Поэтому колебания, заданные уравнением \(x = A \sin(0.01 \pi t + \pi/2)\), имеют амплитуду 0.05 метра, период 200 секунд, частоту 0.005 Гц, початковую фазу \(\pi/2\) и циклическую частоту \(0.01 \pi\).

3. Чтобы найти период колебаний тела на пружине, мы можем использовать формулу:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(m\) - масса тела (200 г = 0.2 кг), а \(k\) - жесткость пружины (2000 Н/м).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2 \, \text{кг}}{2000 \, \text{Н/м}}} = 2\pi \sqrt{0.0001} = 2\pi \cdot 0.01 = 0.02\pi \, \text{с}\]

Поэтому тело, колеблющееся на пружине с жесткостью 2000 Н/м и массой 200 г, имеет период колебаний \(0.02\pi\) секунды.

4. Для определения периода и ускорения свободного падения математического маятника длиной 2.5 метра (l) и выполнения 100 колебаний за 314 секунд (T), мы можем использовать следующие формулы:

Период (T) - это время, необходимое для выполнения одного полного колебания. Мы можем найти период, поделив общее время на количество колебаний:

\[T = \frac{{\text{{Время}}}} {{\text{{Количество колебаний}}}} = \frac{{314 \, \text{{с}}}} {{100}} = 3.14 \, \text{{с}}\]

Частота (f) - количество полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Мы можем использовать обратное значение периода:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{3.14 \, \text{{с}}} \approx 0.318 \, \text{{Гц}}\]

Ускорение свободного падения (g) зависит от местоположения. В международной системе единиц (СИ), ускорение свободного падения принимается примерно равным 9.8 м/с\(^2\).

Поэтому математический маятник длиной 2.5 метра, совершающий 100 колебаний за 314 секунд, имеет период 3.14 секунды, частоту 0.318 Гц и ускорение свободного падения, приближенно равное 9.8 м/с\(^2\).

5. Уравнение колебаний для математического маятника задается следующим образом:

\[x = A \cos (\omega t + \phi)\]

где \(x\) - смещение от положения равновесия, \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - циклическая частота (выражается через период как \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)), \(t\) - время, прошедшее с начала колебаний, и \(\phi\) - начальная фаза.

В случае математического маятника, где колебания описываются синусоидальной функцией, уравнение можно записать в виде:

\[x = A \sin (\omega t + \phi)\]

Поэтому уравнение колебаний математического маятника можно представить в виде \(x = A \sin (\omega t + \phi)\).