1. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой с уравнением y = x + 1 и проходящей через точку P(1, 1). 1.в

Plamennyy_Kapitan

61

1. Уравнение прямой, параллельной прямой с уравнением \(y = x + 1\) и проходящей через точку P(1, 1):

Для нахождения уравнения прямой, параллельной данной, мы можем использовать тот факт, что параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. У прямой \(y = x + 1\) угловой коэффициент равен 1, следовательно, у параллельной прямой он также будет равен 1.

Так как угловой коэффициент равен 1, и дана точка P(1, 1), мы можем использовать формулу точки-наклона прямой:

\(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - координаты точки P и m - угловой коэффициент.

Подставим значения P(1, 1) и \(m = 1\) в формулу:

\(y - 1 = 1(x - 1)\)

Раскроем скобки:

\(y - 1 = x - 1\)

Получим уравнение прямой, параллельной данной: \(y = x\).

1.в) Задание выполняемое по формулам учебника. Для начала перепишем уравнения в общем виде:

\(y = ax - 4\)

\(5 - 2y = 8\)

Решим второе уравнение относительно y:

\(5 - 2y = 8 \Rightarrow 2y = 5 - 8 \Rightarrow 2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}\)

Теперь подставим этот y в первое уравнение:

\(-\frac{3}{2} = ax - 4\)

Далее решим уравнение относительно a:

\(ax - 4 = -\frac{3}{2} \Rightarrow ax = -\frac{3}{2} + 4 \Rightarrow ax = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{2x}\)

Чтобы прямые имели более одной точки пересечения, они должны быть одной и той же прямой. Значит, у них должны быть одинаковые уравнения. Получаем условие:

\(a = \frac{5}{2x}\)

Так как x может принимать любое значение, кроме 0 (это бы делало a неопределенным), прямые будут иметь больше одной точки пересечения для любого значения a, кроме 0.

Таким образом, для уравнений \(y = ax - 4\) и \(5 - 2y = 8\) прямые будут иметь больше одной точки пересечения при любом ненулевом значении a.

2. Для нахождения скоростей велосипедиста и автомобилиста можем использовать формулу скорости:

\(V = \frac{S}{t}\), где V - скорость, S - пройденное расстояние и t - время.

Из условия известно, что для велосипедиста и автомобилиста в сумме время равно 2 часам:

\(t_{вел} + t_{авто} = 2\)

Также дано, что велосипедист проезжает на 45 км больше, чем автомобилист за 9 часов:

\(S_{вел} = S_{авто} + 45\) (где S - пройденное расстояние)

Известно также, что в сумме велосипедист и автомобилист проехали 140 км:

\(S_{вел} + S_{авто} = 140\)

Найдем значения пройденного расстояния для каждого из них:

\(S_{вел} = V_{вел} \cdot t_{вел} = V_{вел} \cdot (t_{вел} + t_{авто}) = V_{вел} \cdot 2\)

\(S_{авто} = V_{авто} \cdot t_{авто} = V_{авто} \cdot (t_{вел} + t_{авто}) = V_{авто} \cdot 2\)

Подставим полученные выражения для \(S_{вел}\) и \(S_{авто}\) в уравнение \(S_{вел} + S_{авто} = 140\):

\(V_{вел} \cdot 2 + V_{авто} \cdot 2 = 140\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(V_{вел} + V_{авто} = 70\)

Теперь подставим значение \(S_{вел}\) в уравнение \(S_{вел} = S_{авто} + 45\):

\(V_{вел} \cdot 2 = V_{авто} \cdot 2 + 45\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(V_{вел} = V_{авто} + \frac{45}{2}\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} V_{вел} + V_{авто} = 70 \\ V_{вел} = V_{авто} + \frac{45}{2} \end{cases}\)

Решим систему методом подстановки. Выразим из первого уравнения \(V_{авто}\):

\(V_{авто} = 70 - V_{вел}\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\(V_{вел} = (70 - V_{вел}) + \frac{45}{2}\)

Раскроем скобки:

\(V_{вел} = 70 - V_{вел} + \frac{45}{2}\)

Сгруппируем переменные \(V_{вел}\) в одну часть уравнения:

\(V_{вел} + V_{вел} = 70 + \frac{45}{2}\)

Сложим переменные \(V_{вел}\) и решим уравнение:

\(2V_{вел} = 70 + \frac{45}{2}\)

\(2V_{вел} = \frac{140}{2} + \frac{45}{2}\)

\(2V_{вел} = \frac{185}{2}\)

Разделим обе части уравнения на 2:

\(V_{вел} = \frac{185}{4}\)

Теперь найдем значение \(V_{авто}\), подставив значение \(V_{вел}\) в первое уравнение:

\(V_{авто} = 70 - V_{вел}\)

\(V_{авто} = 70 - \frac{185}{4}\)

Для удобства произведем числовые вычисления:

\(V_{авто} = \frac{280-185}{4}\)

\(V_{авто} = \frac{95}{4}\)

Таким образом, скорость велосипедиста равна \(\frac{185}{4}\) км/ч, а скорость автомобилиста равна \(\frac{95}{4}\) км/ч.