116. Якщо ми маємо паралельні прямі m і n, які перетинають сторони кута MDP (див. рис. 102), то яким буде відрізок

Радужный_Ураган

50

Щоб знайти довжину відрізка AA1, спочатку нам потрібно зрозуміти, як вони пов"язані з іншими відрізками у цьому куті. Нехай AA1 = x.

Ми бачимо, що DA і AA1 є бічними сторонами трикутника DAA1, а BB і AA1 - бічні сторони трикутника BAA1. Оскільки BB та DD - паралельні, ми можемо використати властивість паралельних прямих, що говорить, що перетини паралельних прямих зі сторонами кутів утворюють пропорційні відрізки.

Зауважте, що пункти A, A1 та P лежать на прямій, що проходить через вершину кута MDP. Отже, з лінійності, сума довжин відрізків DA, AA1 та AB дорівнює сумі довжин відрізків BB та A1B.

DA + AA1 + AB = BB + A1B

Підставимо відомі значення:

8 + x + AB = 18 + A1B

Тепер нам потрібно знайти зв"язок між відрізками AB та A1B. Зверніть увагу, що A1B і AB є бічними сторонами двох прямокутних трикутників: A1BP та ABP.

Оскільки прямі m і n є паралельними, можна використовувати властивості паралельних прямих, щоб сказати, що перетини сторін утворюють пропорції.

Зрозуміло, що AA1 і BB перетинаються на стороні DP кута MDP, тому AB і A1B перетинаються на стороні DP.

Пропорція між AB та A1B може бути записана так:

AB / A1B = PD / DP

Тепер ми повинні знайти співвідношення між відрізками PD та DP.

Ми знаємо, що BDP і A1DP є прямокутними трикутниками, а BB і A1A є паралельними сторонами цих трикутників.

Тому можемо використовувати теорему Талеса, яка стверджує, що коли у прямокутних трикутниках паралельні сторони утворюють відрізки, то відношення цих відрізків дорівнює відношенню довжин катетів (PD та DP).

Таким чином, ми можемо записати:

PD / DP = BD / DA

Враховуючи, що BD = BB - DA, підставляємо в шляхом заміни в загальному відношенні:

PD / DP = (BB - DA) / DA

Замінимо значення:

PD / DP = (18 - 8) / 8 = 10 / 8 = 5 / 4

Тепер ми можемо знову повернутися до відношення між відрізками AB та A1B:

AB / A1B = PD / DP = 5 / 4

Ми знаємо, що AB = AA1 + A1B. Підставимо це в рівняння:

AA1 + A1B / A1B = 5 / 4

AA1 / A1B + 1 = 5 / 4

Тепер врахуйте, що AA1 = x (як ми припускаємо на початку). Підставимо це в рівняння:

x / A1B + 1 = 5 / 4

Тепер вирішимо рівняння відносно x:

x = (5/4 - 1) * A1B

x = (5/4 - 4/4) * A1B

x = (1/4) * A1B

Тепер ми знаємо, що відрізок AA1 дорівнює одній четверті довжини відрізка A1B.

Окремо ми не можемо знайти точне значення довжини відрізка AA1, оскільки нам не надано точних вимірів A1B. Але ми можемо дати загальну формулу для обчислення довжини AA1.

Таким чином, можна записати:

AA1 = (1/4) * A1B

Отже, довжина відрізка AA1 дорівнює одній четверті від довжини відрізка A1B.