Проведите операцию сложения алгебраических дробей (b+9)/(9−b)^2+9/(9b−b^2

Полярная

52

Конечно, я помогу вам с решением данной задачи по сложению алгебраических дробей.

Имеем выражение для сложения двух алгебраических дробей:
\(\frac{{b+9}}{{(9-b)^2}} + \frac{{9}}{{9b-b^2}} \)

Для сложения алгебраических дробей необходимо привести их к общему знаменателю.

У нас есть две дроби с разными знаменателями \((9-b)^2\) и \(9b-b^2\). Для нахождения общего знаменателя, найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим каждый знаменатель на простые множители, чтобы найти их НОК:

\((9-b)^2 = (3-(−b))^2 = (3+b)^2 \) - это квадрат разности кубов.

\(9b-b^2 = b(9-b) = b(3-(−b)) = b(3+b) \) - это произведение суммы на разность.

Теперь факторизуем каждое выражение:

\((3+b)^2 = (3+b)(3+b) = 3(3+b) + b(3+b) = 9 + 3b + 3b + b^2 = 9 + 6b + b^2 \)

\(b(3+b) = 3b + b^2 \)

Теперь соберем все вместе:

\(\frac{{b+9}}{{(9-b)^2}} + \frac{{9}}{{9b-b^2}} = \frac{{b+9}}{{9 + 6b + b^2}} + \frac{{9}}{{3b + b^2}}\)

Теперь имея общий знаменатель, произведем сложение числителей:

\(\frac{{b+9}}{{9 + 6b + b^2}} + \frac{{9}}{{3b + b^2}} = \frac{{(b+9)(3b + b^2)}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} + \frac{{9(9+6b+b^2)}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{{(b+9)(3b + b^2)}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} + \frac{{9(9+6b+b^2)}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} = \frac{{3b^2 + 4b + 9b + 9}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} + \frac{{81 + 54b + 9b^2}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}}\)

Сложим числители:

\(\frac{{3b^2 + 4b + 9}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} + \frac{{81 + 54b + 9b^2}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} = \frac{{3b^2 + 4b + 9 + 81 + 54b + 9b^2}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}}\)

Объединим подобные члены в числителе:

\(\frac{{3b^2 + 4b + 9 + 81 + 54b + 9b^2}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}} = \frac{{12b^2 + 58b + 90}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}}\)

Таким образом, результат сложения алгебраических дробей \(\frac{{b+9}}{{(9-b)^2}} + \frac{{9}}{{9b-b^2}} \) равен \(\frac{{12b^2 + 58b + 90}}{{(9 + 6b + b^2)(3b + b^2)}}\).