2. Завдання для комплексного вирішення. У трикутнику ABC сторона AB дорівнює 8 см. Медіана BM трикутника

Диана

24

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать несколько свойств треугольников и теорему косинусов. Давайте разделим решение на шаги для более ясного понимания.

Шаг 1: Известные факты
В задаче нам дано следующее:
- Сторона AB треугольника ABC равна 8 см.
- Медиана BM треугольника ABC имеет длину 5 см.
- Угол AMB равен 84°.

Шаг 2: Нахождение длины стороны BC
Для начала, мы можем использовать свойство медианы треугольника. Медиана делит сторону треугольника пополам. Поэтому, сторона BC будет равна дважды длине медианы BM.
\[BC = 2 \times BM = 2 \times 5 \, \text{см} = 10 \, \text{см}\]

Шаг 3: Использование теоремы косинусов
С помощью теоремы косинусов, мы можем найти длину стороны AC треугольника ABC. Давайте обозначим угол BAC как \(\alpha\) и сторону AC как c.
В теореме косинусов есть следующая формула:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)\]
Где a и b - известные стороны треугольника, а \(\alpha\) - угол между ними.

Мы знаем, что AB = 8 см и BC = 10 см. Также нам известен угол BAC, так как мы знаем угол AMB (84°). Таким образом, мы можем записать формулу и подставить данные:
\[AC^2 = (8 \, \text{см})^2 + (10 \, \text{см})^2 - 2 \times 8 \, \text{см} \times 10 \, \text{см} \times \cos(84°)\]

Рассчитаем значение в правой части формулы:
\(\cos(84°) ≈ -0.0871557\) (значение можно найти, используя калькулятор со встроенными тригонометрическими функциями)
\[AC^2 ≈ (8 \, \text{см})^2 + (10 \, \text{см})^2 - 2 \times 8 \, \text{см} \times 10 \, \text{см} \times (-0.0871557)\]

Выполнив вычисления, получаем:
\[AC^2 ≈ 64 \, \text{см}^2 + 100 \, \text{см}^2 + 13.9139488 \, \text{см}^2\]
\[AC^2 ≈ 177.9139488 \, \text{см}^2\]

Чтобы найти значение AC, возьмем квадратный корень с обеих сторон уравнения:
\[AC ≈ \sqrt{177.9139488 \, \text{см}^2} ≈ 13.34 \, \text{см}\]

Шаг 4: Проверка решения
Мы найдем третью сторону треугольника, AC, примерно равную 13.34 см.

Проверим, можно ли построить треугольник ABC с данными сторонами.
В треугольнике две стороны меньше суммы двух других сторон:
AB + BC > AC
8 см + 10 см > 13.34 см
18 см > 13.34 см

Таким образом, условие неравенства выполняется, что означает, что треугольник ABC существует.

Ответ:
Таким образом, длины сторон треугольника ABC равны:
AB = 8 см,
BC = 10 см,
AC ≈ 13.34 см.