20 теңгеге тең сома алу үшін, 1 теңге, 2 теңге, 5 теңге және 10 теңге бейнеленген монеталардың нешеуін алу қажет?

Изумрудный_Дракон

59

Школьник, чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать систему уравнений. Давайте обозначим неизвестные величины следующим образом:

Пусть \(x\) - количество монет достоинством 1 теңге,
\(y\) - количество монет достоинством 2 теңге,
\(z\) - количество монет достоинством 5 теңге, и
\(w\) - количество монет достоинством 10 теңге.

Теперь, у нас есть следующие уравнения, описывающие ситуацию:

1) Количество монет должно составлять 20:
\[x + y + z + w = 20.\]

2) Достоинство монет должно составлять 20 теңге:
\[1x + 2y + 5z + 10w = 20.\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения переменных \(x, y, z\) и \(w\).

Давайте решим эту систему уравнений шаг за шагом.

Сначала мы можем использовать уравнение 1) и предположить, что все монеты - 1 теңге:
\[x + y + z + w = 20.\]
Получаем:
\[x + y + z + w = 20 \quad \text{(1)}.\]

Теперь перейдем ко 2 уравнению. Подставим в него наше предположение о достоинстве всех монет:
\[1x + 2y + 5z + 10w = 20.\]
Получаем:
\[x + 2y + 5z + 10w = 20 \quad \text{(2)}.\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Давайте решим ее.

Можно преобразовать первое уравнение (1), выразив \(x\) через \(y, z\) и \(w\):
\[x = 20 - y - z - w.\]

Затем подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение (2):
\[20 - y - z - w + 2y + 5z + 10w = 20.\]

Упростим и соберем подобные члены слева:
\[-y + 2y - z + 5z - w + 10w = 0.\]

После упрощения получим:
\[y + 4z + 9w = 20. \quad \text{(3)}\]

Теперь у нас есть новое уравнение (3), описывающее связь между \(y, z\) и \(w\). Мы можем использовать это уравнение для нахождения значений этих переменных.

Давайте рассмотрим все возможные комбинации значений \(y, z\) и \(w\) и посмотрим, какие из них подходят.

1) Если \(w = 0\), то уравнение (3) превращается в \(y + 4z = 20\).
Возможные решения для этого случая:
\[(y, z, w) = (20, 0, 0), (16, 1, 1), (12, 2, 2), (8, 3, 3), (4, 4, 4).\]

2) Если \(w = 1\), то уравнение (3) превращается в \(y + 4z + 9 = 20\).
Возможные решения для этого случая:
\[(y, z, w) = (10, 2, 1), (6, 3, 1), (2, 4, 1).\]

3) Если \(w = 2\), то уравнение (3) превращается в \(y + 4z + 18 = 20\).
Возможное решение для этого случая:
\[(y, z, w) = (0, 4, 2).\]

Таким образом, мы получили все возможные комбинации значений \(y, z\) и \(w\), удовлетворяющие условию задачи. Давайте найдем значения переменной \(x\) для каждого из этих случаев.

1) Для ответа \((y, z, w) = (20, 0, 0)\), мы можем найти \(x\) из уравнения (1):
\[x = 20 - y - z - w = 20 - 20 - 0 - 0 = 0.\]
Таким образом, в этом случае у нас есть 20 монет достоинством 1 теңге.

2) Для ответов \((y, z, w) = (16, 1, 1), (12, 2, 2), (8, 3, 3), (4, 4, 4)\), мы также можем найти \(x\) из уравнения (1):
\[x = 20 - y - z - w.\]
Для каждого случая вычислим \(x\) отдельно.

3) Для ответов \((y, z, w) = (10, 2, 1), (6, 3, 1), (2, 4, 1)\) и \((y, z, w) = (0, 4, 2)\), мы также можем найти \(x\) из уравнения (1):
\[x = 20 - y - z - w.\]
Для каждого случая вычислим \(x\) отдельно.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные комбинации монет и составили таблицу с ответами:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
№ & \(x\) & \(y\) & \(z\) & \(w\) \\
\hline
1 & 20 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
2 & ? & 16 & 1 & 1 \\
\hline
3 & ? & 12 & 2 & 2 \\
\hline
4 & ? & 8 & 3 & 3 \\
\hline
5 & ? & 4 & 4 & 4 \\
\hline
6 & ? & 10 & 2 & 1 \\
\hline
7 & ? & 6 & 3 & 1 \\
\hline
8 & ? & 2 & 4 & 1 \\
\hline
9 & ? & 0 & 4 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Как вы можете заметить, не для всех случаев мы можем найти значение \(x\) без дополнительных ограничений или данных. Но мы нашли все возможные комбинации монет достоинством 1, 2, 5 и 10 теңге, которые в сумме дают 20 теңге.