27.15 Наприменяя метод дифференцирования по алгоритму (см. пункт 2 в разделе 27), представьте формулу для нахождения
27.15 Наприменяя метод дифференцирования по алгоритму (см. пункт 2 в разделе 27), представьте формулу для нахождения производной следующих функций: а) у = квадрат х плюс х; б) у = 2 умножить на квадрат х минус 3; в) у = умножить на 3 х минус 2 умножить на квадрат х; г) у = квадрат х в четвертой степени плюс 4 умножить на х.
Stepan_9306 10
Для решения данной задачи воспользуемся методом дифференцирования по алгоритму. Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди.а) Функция: \(у = x^2 + x\)
Для начала найдем производную первого слагаемого, \(x^2\), по правилу дифференцирования степенной функции для переменной \(x\):
\(\frac{{d(x^2)}}{{dx}} = 2x\)
Аналогично, найдем производную второго слагаемого, \(x\):
\(\frac{{d(x)}}{{dx}} = 1\)
Складывая полученные производные, получим производную функции \(у\):
\(\frac{{d(у)}}{{dx}} = \frac{{d(x^2)}}{{dx}} + \frac{{d(x)}}{{dx}} = 2x + 1\)
Таким образом, формула для нахождения производной функции \(у\) равна \(2x + 1\).
б) Функция: \(у = 2x^2 - 3\)
Применим тот же алгоритм. Найдем производную первого слагаемого, \(2x^2\):
\(\frac{{d(2x^2)}}{{dx}} = 2 \cdot 2x = 4x\)
Производная второго слагаемого, \(-3\), будет равна нулю, поскольку это константа.
Складывая полученные производные, получим производную функции \(у\):
\(\frac{{d(у)}}{{dx}} = \frac{{d(2x^2)}}{{dx}} + \frac{{d(-3)}}{{dx}} = 4x + 0 = 4x\)
Таким образом, формула для нахождения производной функции \(у\) равна \(4x\).
в) Функция: \(у = 3x - 2x^2\)
Применим алгоритм для каждого слагаемого. Найдем производную первого слагаемого, \(3x\):
\(\frac{{d(3x)}}{{dx}} = 3\)
Найдем производную второго слагаемого, \(-2x^2\), используя правило дифференцирования степенной функции:
\(\frac{{d(-2x^2)}}{{dx}} = -2 \cdot 2x = -4x\)
Складывая полученные производные, получим производную функции \(у\):
\(\frac{{d(у)}}{{dx}} = \frac{{d(3x)}}{{dx}} + \frac{{d(-2x^2)}}{{dx}} = 3 + (-4x) = -4x + 3\)
Таким образом, формула для нахождения производной функции \(у\) равна \(-4x + 3\).
г) Функция: \(у = x^4 + 4y\)
Применим алгоритм для каждого слагаемого. Найдем производную первого слагаемого, \(x^4\), используя правило дифференцирования степенной функции:
\(\frac{{d(x^4)}}{{dx}} = 4x^3\)
Производная второго слагаемого, \(4y\), будет равна нулю, поскольку это константа.
Складывая полученные производные, получим производную функции \(у\):
\(\frac{{d(у)}}{{dx}} = \frac{{d(x^4)}}{{dx}} + \frac{{d(4y)}}{{dx}} = 4x^3 + 0 = 4x^3\)
Таким образом, формула для нахождения производной функции \(у\) равна \(4x^3\).
Итак, формулы для нахождения производных заданных функций:
а) \(у" = 2x + 1\)
б) \(у" = 4x\)
в) \(у" = -4x + 3\)
г) \(у" = 4x^3\)