335. Using the Vieta s theorem in reverse, try to select the roots of the quadratic equation. If it is not possible

Kiska

26

Для решения квадратного уравнения мы можем использовать теорему Виета в обратном порядке. Если возможно, мы попробуем выбрать корни уравнения. Если это невозможно, мы воспользуемся формулой для нахождения корней. Давайте решим каждое уравнение по очереди:

4) Решим уравнение \(x^2 - 2x - 35 = 0\).

Для начала, воспользуемся теоремой Виета. Корни квадратного уравнения обозначим как \(x_1\) и \(x_2\). Тогда согласно теореме Виета, выполняется следующее:

\[x_1 + x_2 = -(-2) = 2\]
\[x_1 \cdot x_2 = -35\]

Мы можем попробовать выбрать корни, удовлетворяющие этим условиям. Мы знаем, что 5 и -7 являются корнями, так как \(5 + (-7) = 2\) и \(5 \cdot (-7) = -35\).

Теперь давайте рассмотрим остальные уравнения:

5) Решим уравнение \(x^2 + 5x - 4 = 0\).

Снова воспользуемся теоремой Виета:

\[x_1 + x_2 = -5\]
\[x_1 \cdot x_2 = -4\]

Мы можем заметить, что -1 и 4 удовлетворяют этим условиям: \((-1) + 4 = -5\) и \((-1) \cdot 4 = -4\).

6) Решим уравнение \(x^2 + 5x - 36 = 0\).

\[x_1 + x_2 = -5\]
\[x_1 \cdot x_2 = -36\]

Мы видим, что -4 и 9 являются корнями уравнения: \((-4) + 9 = -5\) и \((-4) \cdot 9 = -36\).

7) Решим уравнение \(x^2 + 5x + 14 = 0\).

\[x_1 + x_2 = -5\]
\[x_1 \cdot x_2 = 14\]

Для этого уравнения нет рациональных корней, которые бы удовлетворяли этим условиям. Поэтому мы воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, \(a = 1\), \(b = 5\) и \(c = 14\). Подставляя значения в формулу, получим:

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}\]

Рассчитаем выражение внутри квадратной скобки:

\[5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 - 56 = -31\]

Так как подкоренное выражение отрицательное, уравнение не имеет действительных корней.

8) Решим уравнение \(x^2 + 16x + 55 = 0\).

\[x_1 + x_2 = -16\]
\[x_1 \cdot x_2 = 55\]

Мы видим, что -11 и -5 являются корнями данного уравнения: \((-11) + (-5) = -16\) и \((-11) \cdot (-5) = 55\).

9) Решим уравнение \(x^2 - 4x - 77 = 0\).

\[x_1 + x_2 = 4\]
\[x_1 \cdot x_2 = -77\]

Корнями этого уравнения являются 11 и -7: \(11 + (-7) = 4\) и \(11 \cdot (-7) = -77\).

10) Решим уравнение \(x^2 + 20x = 0\).

\[x_1 + x_2 = -20\]
\[x_1 \cdot x_2 = 0\]

Мы видим, что корнями этого уравнения является 0 и -20: \(0 + (-20) = -20\) и \(0 \cdot (-20) = 0\).

Таким образом, мы решили каждое уравнение, выбирая корни, когда это было возможно, и используя формулу для нахождения корней в других случаях.