35 ! которая является высшей, эллипсом и прямой. Само условие экзамена такое: найти координаты точки 4х^2+9у^2-72=0

Летающий_Космонавт

30

Данная задача связана с нахождением точки на эллипсе, которая находится наиболее далеко от заданной прямой. Для решения данной задачи требуется использовать некоторые понятия из геометрии и алгебры.

Шаг 1: Найдем уравнение эллипса

Уравнение эллипса имеет общий вид:

\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1\)

где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси.

Исходное уравнение эллипса имеет вид:

\(4x^2 + 9y^2 - 72 = 0\)

Перепишем его, приведя к общему виду:

\(\dfrac{x^2}{(\sqrt{18})^2} + \dfrac{y^2}{(\sqrt{8})^2} = 1\)

Таким образом, у нас есть информация о центре эллипса, который равен (0, 0), и полуосях: a = \(\sqrt{18}\) и b = \(\sqrt{8}\).

Шаг 2: Найдем уравнение прямой

Уравнение прямой в общем виде имеет вид:

\(Ax + By + C = 0\)

где A, B и C - коэффициенты, определяющие прямую.

Исходное уравнение прямой имеет вид:

\(2x - 3y - 1 = 0\)

Таким образом, у нас есть информация о коэффициентах прямой: A = 2, B = -3 и C = -1.

Шаг 3: Найдем точку эллипса, наиболее удаленную от прямой

Точка на эллипсе, наиболее удаленная от прямой, будет находиться на оси эллипса, перпендикулярной прямой. Это следует из свойства, что касательная к эллипсу перпендикулярна его радиусу.

Коэффициент наклона прямой, перпендикулярной данной прямой, равен отрицательному обратному коэффициенту наклона данной прямой. Таким образом, мы перевернем знак и поменяем местами коэффициенты A и B:

\(A" = -B = 3\) и \(B" = A = 2\)

Найдем точку пересечения перпендикулярной прямой с эллипсом. Для этого решим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{x^2}{(\sqrt{18})^2} + \dfrac{y^2}{(\sqrt{8})^2} = 1 \\ 3x + 2y + C" = 0 \end{cases}\)

где \(C" = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0\)

Решая данную систему уравнений, найдем координаты точки, наиболее удаленной от прямой на эллипсе.

Шаг 4: Найдем расстояние от найденной точки до прямой

Для нахождения расстояния от точки до прямой можно использовать формулу:

\(d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

где (x_0, y_0) - координаты точки, d - расстояние, A, B и C - коэффициенты уравнения прямой.

Подставим значения и рассчитаем расстояние от найденной точки до прямой.

Шаг 5: Вывод результата

После выполнения всех необходимых вычислений, выведите найденные координаты точки на эллипсе и расстояние от этой точки до прямой.

Таким образом, мы нашли точку на эллипсе и расстояние до прямой в соответствии с условием задачи.

Надеюсь, объяснение было понятным. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.