4. ( ) Какова скорость центра цилиндра, который катится без проскальзывания между двумя параллельными рейками

Murchik_875

29

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии. Когда цилиндр катится без проскальзывания, его кинетическая энергия и потенциальная энергия сохраняются.

Начнем с выражения для кинетической энергии цилиндра:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} I \omega^2\]

где \(I\) - момент инерции цилиндра, \(\omega\) - его угловая скорость.

Так как цилиндр катится без проскальзывания, угловая скорость связана со скоростью его центра следующим образом:

\(\omega = \frac{v}{R}\),

где \(v\) - скорость центра цилиндра, а \(R\) - его радиус.

Теперь рассмотрим выражение для потенциальной энергии, которая зависит от высоты центра цилиндра над землей:

\[E_{\text{пот}} = mgh\]

где \(m\) - масса цилиндра, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота центра цилиндра над землей.

Так как цилиндр катится без проскальзывания между двумя рейками, его высота над землей не изменяется. Следовательно, потенциальная энергия остается постоянной и равной нулю.

Таким образом, уравновешивая кинетическую энергию и потенциальную энергию, получаем:

\[\frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2 = 0\]

Учитывая, что \(\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} m R^2\) (для однородного цилиндра с массой \(m\)), можем записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{2} m R^2 \left(\frac{v}{R}\right)^2 = 0\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[\frac{1}{2} m v^2 = 0\]

Отсюда следует, что \(v = 0\).

Таким образом, скорость центра цилиндра равна нулю.