42.1. Как получить значение производной функции в заданной точке, используя определение? Объясните геометрический

Морской_Цветок_9082

6

Для начала, давайте вспомним определение производной функции в заданной точке. Производная функции в точке \(x=a\) определяется как предел отношения изменения функции \(\Delta y\) к изменению аргумента \(\Delta x\), когда \(\Delta x\) стремится к нулю:

\[
f"(a) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}
\]

Теперь, давайте используем это определение для нашей функции \(y = 2 + \frac{{3x + 1}}{{5x + 1}}\). Мы хотим найти производную функции в точке \(x = a\), поэтому подставим \(x = a + \Delta x\):

\[
f"(a) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{2 + \frac{{3(a + \Delta x) + 1}}{{5(a + \Delta x) + 1}} - (2 + \frac{{3a + 1}}{{5a + 1}})}}{{\Delta x}}
\]

Упрощая выражение, получим:

\[
f"(a) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{2(5a + 1) + 3(a + \Delta x) + 1 - 2(5(a + \Delta x) + 1) - 3a - 1}}{{(5a + 1)(5(a + \Delta x) + 1)\Delta x}}
\]

\[
= \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{3a + 2\Delta x + 1 - 6a - 6\Delta x - 2}}{{(5a + 1)(5(a + \Delta x) + 1)\Delta x}}
\]

\[
= \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{-\Delta x - 1}}{{(5a + 1)(5(a + \Delta x) + 1)}}
\]

Воспользуемся алгеброй пределов и продолжим упрощение:

\[
f"(a) = \frac{{-1}}{{(5a + 1)(5a + 1)}}
\]

Таким образом, мы получили значение производной функции \(y = 2 + \frac{{3x + 1}}{{5x + 1}}\) в любой точке \(x = a\) через определение.

Давайте интерпретируем полученный результат. Геометрический смысл производной в заданной точке \(x = a\) заключается в том, что она указывает на угол наклона касательной линии к графику функции в этой точке. В случае нашей функции, производная показывает, как меняется угол наклона касательной в зависимости от значения \(x\) в данной точке.

Физический смысл производной можно объяснить на примере. Предположим, что функция \(y = 2 + \frac{{3x + 1}}{{5x + 1}}\) описывает движение объекта по прямой. Тогда производная функции в заданной точке \(x = a\) будет означать скорость изменения положения объекта в этой точке. Если производная положительна, то объект движется вперед (в положительном направлении), если отрицательна - в обратном направлении. А значение самой производной показывает, насколько быстро объект движется.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти значение производной функции в заданной точке и применить полученный результат в геометрическом и физическом контексте.