Найдите угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, если точка A находится на луче, начинающемся в начале

Летающая_Жирафа

49

Чтобы найти угол между лучом OA и положительной полуосью Ox, нам нужно использовать геометрическую теорему, которая гласит, что косинус угла между двумя векторами можно найти, используя их скалярное произведение и длины векторов.

Пусть вектор OA имеет координаты \((-18, 18)\) и вектор OX имеет координаты \((1, 0)\). Для начала найдем скалярное произведение этих векторов. Скалярное произведение вычисляется следующим образом:

\[
OA \cdot OX = (-18) \cdot (1) + (18) \cdot (0) = -18
\]

Далее, найдем длины векторов OA и OX. Длина вектора вычисляется с помощью теоремы Пифагора:

\[
|OA| = \sqrt{(-18)^2 + (18)^2} = \sqrt{648} = 18\sqrt{4} = 36
\]
\[
|OX| = \sqrt{(1)^2 + (0)^2} = \sqrt{1} = 1
\]

Теперь мы можем найти косинус угла между лучом OA и положительной полуосью Ox, используя найденные значения:

\[
\cos{\theta} = \frac{OA \cdot OX}{|OA| \cdot |OX|} = \frac{-18}{36 \cdot 1} = -\frac{1}{2}
\]

Для нахождения самого угла \(\theta\) нам потребуется использовать обратную функцию косинуса, известную как арккосинус. Воспользуемся обозначением \(\arccos\) для обратной функции косинуса:

\[
\theta = \arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)}
\]

Таким образом, угол между лучом OA и положительной полуосью Ox равен \(\theta \approx 120^\circ\).

Теперь рассмотрим вторую задачу. Пусть точка A находится на луче, начинающемся в начале координатной системы и имеющем координаты \((6, 6)\). Мы можем использовать те же шаги, чтобы найти угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.

Сначала найдем скалярное произведение векторов OA и OX:

\[
OA \cdot OX = (6) \cdot (1) + (6) \cdot (0) = 6
\]

Затем найдем длины векторов OA и OX:

\[
|OA| = \sqrt{(6)^2 + (6)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
\]
\[
|OX| = \sqrt{(1)^2 + (0)^2} = \sqrt{1} = 1
\]

Теперь можем найти косинус угла \(\theta\) используя найденные значения:

\[
\cos{\theta} = \frac{OA \cdot OX}{|OA| \cdot |OX|} = \frac{6}{6\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

И, наконец, найдем угол \(\theta\) с помощью арккосинуса:

\[
\theta = \arccos{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}
\]

Таким образом, угол между лучом OA и положительной полуосью Ox равен \(\theta \approx 45^\circ\).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти угол между лучом OA и положительной полуосью Ox для обеих задач. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!