Каковы производная данной функции и её значение в точке х0? Функция f(х) = √(2х-1), х0

Zimniy_Son

41

Для начала найдем производную функции \( f(x) = \sqrt{2x-1} \) по определению.

Производная функции вычисляется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

\[ f"(x) = \lim_{{\delta x \to 0}} \frac{{f(x + \delta x) - f(x)}}{{\delta x}} \]

Применим это определение к нашей функции, используя известное свойство производной квадратного корня \( \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \):

\[ f"(x) = \lim_{{\delta x \to 0}} \frac{{\sqrt{2(x + \delta x) - 1} - \sqrt{2x - 1}}}{{\delta x}} \]

Для удобства, обнулим числитель, чтобы избавиться от корней:

\[ 0 = \sqrt{2(x + \delta x) - 1} - \sqrt{2x - 1} \]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ 0 = 2(x + \delta x) - 1 - 2\sqrt{2(x + \delta x) - 1}\sqrt{2x - 1} + 2x - 1 \]

\[ 0 = 2\delta x + 2x - 2 + 2(x + \delta x - x)\sqrt{2x - 1} - 2\sqrt{2(x + \delta x) - 1}\sqrt{2x - 1} \]

\[ 0 = 2\delta x + 2(x + \delta x - x)\sqrt{2x - 1} - 2\sqrt{2(x + \delta x) - 1}\sqrt{2x - 1} \]

\[ 0 = 2\delta x - 2\sqrt{2(x + \delta x) - 1}\sqrt{2x - 1} \]

Теперь домножим обе части уравнения на \( \frac{1}{2\delta x} \):

\[ 0 = -\sqrt{2(x + \delta x) - 1}\sqrt{2x - 1} \]

\[ \sqrt{2(x + \delta x) - 1}\sqrt{2x - 1} = 0 \]

Так как отношение производных функций равно отношению значений, а производная функции слева от \( x_0 \) и справа от \( x_0 \) должна быть одинаковой, то производная равна \( f"(x) = 0 \).

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 \), подставив \( x_0 \) в выражение производной \( f"(x) \):

\[ f"(x_0) = 2\sqrt{2x_0 - 1}\sqrt{2x_0 - 1} = 2(2x_0 - 1) = 4x_0 - 2 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \sqrt{2x-1} \) равна \( f"(x) = 0 \), а ее значение в точке \( x_0 \) равно \( f"(x_0) = 4x_0 - 2 \).