8. Объясните, почему производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции - четной. Б) Могут

Сердце_Сквозь_Время_390

3

Вопрос 8:

Производная функции - это функция, которая показывает, как быстро меняется исходная функция в каждой точке.

1. Почему производная четной функции является нечетной:
Пусть дана четная функция $f(x)$. Поскольку функция четная, то $f(-x)=f(x)$ для всех $x$. Теперь возьмем производную функции $f(x)$ и посчитаем $f"(-x)$. По определению производной $f"(-x)$ равно пределу отношения разности функции в точках $(x+h)$ и $x$ к $h$, при $h\to 0$. Заменим в этой формуле $x$ на $-x$:
$$f"(-x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}$$
$$f"(-x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(-x+h)-f(x)}{h}$$
Поскольку $f$ - четная функция, $f(-x+h)=f(x-h)$, исходя из свойства четности. Поэтому:
$$f"(-x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}$$
$$f"(-x)=-\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}=-f"(x)$$
Таким образом, производная четной функции является нечетной.

2. Почему производная нечетной функции является четной:
Теперь рассмотрим нечетную функцию $g(x)$. Для нечетных функций выполняется свойство: $g(-x)=-g(x)$ для всех $x$. Возьмем производную функции $g(x)$ аналогично первому пункту, но заменим $f$ на $g$:
$$g"(-x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(-x+h)-g(x)}{h}$$
По свойству нечетности функции $g$, $g(-x+h)=-g(x-h)$, поэтому:
$$g"(-x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{-g(x-h)-g(x)}{h}$$
$$g"(-x)=-\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x-h)+g(x)}{h}=g"(x)$$
Таким образом, производная нечетной функции является четной.

Б) Утверждения:
1) Если $f"(x)$ - нечетная функция, то $f(x)$ - четная функция - неверно. Примером такой ситуации может служить функция $f(x)=x^3$. Ее производная $f"(x)=3x^2$ - нечетная функция, но сама функция не является четной.

2) Если $f"(x)$ - четная функция, то $f(x)$ - нечетная функция - неверно. Примером такой ситуации может служить функция $f(x)=x^2$. Ее производная $f"(x)=2x$ - четная функция, но сама функция не является нечетной.

Задание 9:
Чтобы построить график функции, изображенного на снимке 4, чтобы он стал:
1) Графиком четной функции - необходимо, чтобы функция была симметричной относительно оси ординат $y$, то есть $f(-x)=f(x)$ для любого $x$. Для этого можно использовать функции вида $y=x^n$, где $n$ - четное число.

2) Графиком нечетной функции - необходимо, чтобы функция была симметричной относительно начала координат, то есть $-f(x)=f(-x)$ для любого $x$. Для этого можно использовать функции вида $y=x^n$, где $n$ - нечетное число.

График некоторых функций может быть одновременно и четным, и нечетным. Например, график функции $f(x)=x^3$ будет симметричен относительно начала координат и оси ординат.

Невозможно преобразовать график функции в случае, если функция не обладает требуемой симметрией. Однако, в случае если функция обладает обеими видами симметрии, график можно преобразовать несколькими способами, сохраняя форму функции, но изменяя ее положение в пространстве.