8. Объясните, почему производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции - четной. Б) Могут

  • 45
8. Объясните, почему производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции - четной. Б) Могут ли быть верны такие утверждения: 1) если f’(x) - нечетная функция, то f(x) - четная функция; 2) если f’(x) - четная функция, то f(x) - нечетная функция?

Задание №9: Завершите построение графика функции, изображенного на снимке 4, чтобы он стал графиком функции, определенной на всей числовой прямой R и 1) являющейся четной функцией; 2) являющейся нечетной функцией. В каких случаях это невозможно? В каких случаях можно преобразовать график несколькими способами? Функция f определена на всей числовой прямой, четная и имеет период Т=4. Восстановите ее график.
Сердце_Сквозь_Время_390
3
Вопрос 8:

Производная функции - это функция, которая показывает, как быстро меняется исходная функция в каждой точке.

1. Почему производная четной функции является нечетной:
Пусть дана четная функция f(x). Поскольку функция четная, то f(x)=f(x) для всех x. Теперь возьмем производную функции f(x) и посчитаем f"(x). По определению производной f"(x) равно пределу отношения разности функции в точках (x+h) и x к h, при h0. Заменим в этой формуле x на x:
f"(x)=limh0f(x+h)f(x)h
f"(x)=limh0f(x+h)f(x)h
Поскольку f - четная функция, f(x+h)=f(xh), исходя из свойства четности. Поэтому:
f"(x)=limh0f(xh)f(x)h
f"(x)=limh0f(xh)f(x)h=f"(x)
Таким образом, производная четной функции является нечетной.

2. Почему производная нечетной функции является четной:
Теперь рассмотрим нечетную функцию g(x). Для нечетных функций выполняется свойство: g(x)=g(x) для всех x. Возьмем производную функции g(x) аналогично первому пункту, но заменим f на g:
g"(x)=limh0g(x+h)g(x)h
По свойству нечетности функции g, g(x+h)=g(xh), поэтому:
g"(x)=limh0g(xh)g(x)h
g"(x)=limh0g(xh)+g(x)h=g"(x)
Таким образом, производная нечетной функции является четной.

Б) Утверждения:
1) Если f"(x) - нечетная функция, то f(x) - четная функция - неверно. Примером такой ситуации может служить функция f(x)=x3. Ее производная f"(x)=3x2 - нечетная функция, но сама функция не является четной.

2) Если f"(x) - четная функция, то f(x) - нечетная функция - неверно. Примером такой ситуации может служить функция f(x)=x2. Ее производная f"(x)=2x - четная функция, но сама функция не является нечетной.

Задание 9:
Чтобы построить график функции, изображенного на снимке 4, чтобы он стал:
1) Графиком четной функции - необходимо, чтобы функция была симметричной относительно оси ординат y, то есть f(x)=f(x) для любого x. Для этого можно использовать функции вида y=xn, где n - четное число.

2) Графиком нечетной функции - необходимо, чтобы функция была симметричной относительно начала координат, то есть f(x)=f(x) для любого x. Для этого можно использовать функции вида y=xn, где n - нечетное число.

График некоторых функций может быть одновременно и четным, и нечетным. Например, график функции f(x)=x3 будет симметричен относительно начала координат и оси ординат.

Невозможно преобразовать график функции в случае, если функция не обладает требуемой симметрией. Однако, в случае если функция обладает обеими видами симметрии, график можно преобразовать несколькими способами, сохраняя форму функции, но изменяя ее положение в пространстве.