1. solvetop.com
  2. Алгебра
  3. 8. Объясните, почему...

8. Объясните, почему производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции - четной. Б) Могут

  • 45
8. Объясните, почему производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции - четной. Б) Могут ли быть верны такие утверждения: 1) если f’(x) - нечетная функция, то f(x) - четная функция; 2) если f’(x) - четная функция, то f(x) - нечетная функция?

Задание №9: Завершите построение графика функции, изображенного на снимке 4, чтобы он стал графиком функции, определенной на всей числовой прямой R и 1) являющейся четной функцией; 2) являющейся нечетной функцией. В каких случаях это невозможно? В каких случаях можно преобразовать график несколькими способами? Функция f определена на всей числовой прямой, четная и имеет период Т=4. Восстановите ее график.

Рекомендуется сохранять верные ответы и всегда делиться с друзьями, ведь они могут тебе ещё пригодиться!

Telegram Whatsapp ВКонтакте
Сердце_Сквозь_Время_390
3
Вопрос 8:

Производная функции - это функция, которая показывает, как быстро меняется исходная функция в каждой точке.

1. Почему производная четной функции является нечетной:
Пусть дана четная функция \(f(x)\). Поскольку функция четная, то \(f(-x) = f(x)\) для всех \(x\). Теперь возьмем производную функции \(f(x)\) и посчитаем \(f"(-x)\). По определению производной \(f"(-x)\) равно пределу отношения разности функции в точках \((x+h)\) и \(x\) к \(h\), при \(h \to 0\). Заменим в этой формуле \(x\) на \(-x\):
\[f"(-x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(-x+h) - f(-x)}{h}\]
\[f"(-x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(-x+h) - f(x)}{h}\]
Поскольку \(f\) - четная функция, \(f(-x+h) = f(x-h)\), исходя из свойства четности. Поэтому:
\[f"(-x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x-h) - f(x)}{h}\]
\[f"(-x) = - \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x-h) - f(x)}{-h} = -f"(x)\]
Таким образом, производная четной функции является нечетной.

2. Почему производная нечетной функции является четной:
Теперь рассмотрим нечетную функцию \(g(x)\). Для нечетных функций выполняется свойство: \(g(-x) = -g(x)\) для всех \(x\). Возьмем производную функции \(g(x)\) аналогично первому пункту, но заменим \(f\) на \(g\):
\[g"(-x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{g(-x+h) - g(x)}{h}\]
По свойству нечетности функции \(g\), \(g(-x+h) = -g(x-h)\), поэтому:
\[g"(-x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{-g(x-h) - g(x)}{h}\]
\[g"(-x) = - \lim_{{h \to 0}} \frac{g(x-h) + g(x)}{h} = g"(x)\]
Таким образом, производная нечетной функции является четной.

Б) Утверждения:
1) Если \(f"(x)\) - нечетная функция, то \(f(x)\) - четная функция - неверно. Примером такой ситуации может служить функция \(f(x) = x^3\). Ее производная \(f"(x) = 3x^2\) - нечетная функция, но сама функция не является четной.

2) Если \(f"(x)\) - четная функция, то \(f(x)\) - нечетная функция - неверно. Примером такой ситуации может служить функция \(f(x) = x^2\). Ее производная \(f"(x) = 2x\) - четная функция, но сама функция не является нечетной.

Задание 9:
Чтобы построить график функции, изображенного на снимке 4, чтобы он стал:
1) Графиком четной функции - необходимо, чтобы функция была симметричной относительно оси ординат \(y\), то есть \(f(-x) = f(x)\) для любого \(x\). Для этого можно использовать функции вида \(y = x^n\), где \(n\) - четное число.

2) Графиком нечетной функции - необходимо, чтобы функция была симметричной относительно начала координат, то есть \(-f(x) = f(-x)\) для любого \(x\). Для этого можно использовать функции вида \(y = x^n\), где \(n\) - нечетное число.

График некоторых функций может быть одновременно и четным, и нечетным. Например, график функции \(f(x) = x^3\) будет симметричен относительно начала координат и оси ординат.

Невозможно преобразовать график функции в случае, если функция не обладает требуемой симметрией. Однако, в случае если функция обладает обеими видами симметрии, график можно преобразовать несколькими способами, сохраняя форму функции, но изменяя ее положение в пространстве.