а.) - это арифметическая прогрессия. Как найти значение а8, если известно, что а7 + а8 + а9

Grigoriy

39

Чтобы найти значение \(a_8\) в арифметической прогрессии, если известно, что \(a_7 + a_8 + a_9 = 27\), мы можем воспользоваться двумя свойствами арифметической прогрессии. Первое свойство заключается в том, что разница между соседними членами постоянна. Обозначим эту разницу буквой \(d\).

Теперь представим, что мы знаем значение \(a_7\). Мы можем записать уравнение, основываясь на свойстве арифметической прогрессии:
\[a_7 + a_8 + a_9 = 27\]
Используя второе свойство, согласно которому каждый последующий член равен предыдущему плюс разница \(d\), мы можем заменить \(a_8\) и \(a_9\):
\[a_7 + (a_7 + d) + (a_7 + 2d) = 27\]
Упростим это уравнение, объединив подобные слагаемые:
\[3a_7 + 3d = 27\]
Мы знаем, что \(a_7\) и \(d\) являются неизвестными величинами, поэтому у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
\[
\begin{align*}
a_7 + a_8 + a_9 &= 27 \\
3a_7 + 3d &= 27 \\
\end{align*}
\]

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. Решение позволит нам найти значения \(a_7\) и \(d\).

Из второго уравнения получаем:
\[3d = 27 - 3a_7 \quad \text{(1)}\]

Подставим это значение \(d\) в первое уравнение:
\[a_7 + a_8 + a_9 = 27 \quad \text{(2)}\]
\[a_7 + (a_7 + \frac{27 - 3a_7}{3}) + (a_7 + 2\frac{27 - 3a_7}{3}) = 27\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[a_7 + a_7 + \frac{27 - 3a_7}{3} + a_7 + 2\frac{27 - 3a_7}{3} = 27\]
\[3a_7 + 6\frac{27 - 3a_7}{3} = 27\]

Сократим на 3:
\[3a_7 + 6(9 - a_7) = 27\]
\[3a_7 + (54 - 6a_7) = 27\]

Упростим уравнение еще раз:
\[3a_7 + 54 - 6a_7 = 27\]
\[-3a_7 + 54 = 27\]
\[-3a_7 = -27\]
\[a_7 = 9\]

Теперь, когда у нас есть значение \(a_7\), мы можем найти значение разницы \(d\) с использованием уравнения (1):
\[3d = 27 - 3a_7\]
\[3d = 27 - 3 \cdot 9\]
\[3d = 27 - 27\]
\[3d = 0\]
\[d = 0\]

Таким образом, мы получили, что разница между соседними членами арифметической прогрессии равна 0. То есть, каждый член арифметической прогрессии одинаков. Мы можем записать это как \(a_n = 9\) для любого \(n\).

Теперь, чтобы найти значение \(a_8\), мы можем просто подставить \(a_8 = 9\) в уравнение и найти:
\[a_8 = 9\]