a) Как можно представить двучленный многочлен (х+у)^6 с использованием бинома Ньютона и треугольника Паскаля? б) Каким

Екатерина

38

a) Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу бинома Ньютона, которая гласит:

\[(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, вычисляемый с использованием треугольника Паскаля.

В данном случае у нас есть двучленный многочлен \((x+y)^6\). Давайте подставим \(x\) и \(y\) в нашу формулу:

\[(x+y)^6 = \binom{6}{0}x^6 y^0 + \binom{6}{1}x^5 y^1 + \binom{6}{2}x^4 y^2 + \binom{6}{3}x^3 y^3 + \binom{6}{4}x^2 y^4 + \binom{6}{5}x^1 y^5 + \binom{6}{6}x^0 y^6\]

Теперь просто вычислим значения биномиальных коэффициентов, используя треугольник Паскаля:

\[\binom{6}{0} = 1, \quad \binom{6}{1} = 6, \quad \binom{6}{2} = 15, \quad \binom{6}{3} = 20, \quad \binom{6}{4} = 15, \quad \binom{6}{5} = 6, \quad \binom{6}{6} = 1\]

Подставим эти значения обратно в нашу формулу:
\[(x+y)^6 = x^6 + 6x^5 y + 15x^4 y^2 + 20x^3 y^3 + 15x^2 y^4 + 6xy^5 + y^6\]

Таким образом, представление двучленного многочлена \((x+y)^6\) с использованием бинома Ньютона и треугольника Паскаля выглядит так:

\[(x+y)^6 = x^6 + 6x^5 y + 15x^4 y^2 + 20x^3 y^3 + 15x^2 y^4 + 6xy^5 + y^6\]

б) Следуя тем же шагам, рассмотрим многочлен \((1-2a)^4\).

\((1-2a)^4 = \binom{4}{0}1^4(-2a)^0 + \binom{4}{1}1^3(-2a)^1 + \binom{4}{2}1^2(-2a)^2 + \binom{4}{3}1^1(-2a)^3 + \binom{4}{4}1^0(-2a)^4\)

Вычислим биномиальные коэффициенты:

\(\binom{4}{0} = 1, \quad \binom{4}{1} = 4, \quad \binom{4}{2} = 6, \quad \binom{4}{3} = 4, \quad \binom{4}{4} = 1\)

Подставим эти значения:

\((1-2a)^4 = 1(-2a)^0 + 4(-2a)^1 + 6(-2a)^2 + 4(-2a)^3 + 1(-2a)^4\)

Упростим:

\((1-2a)^4 = 1 - 8a + 24a^2 - 32a^3 + 16a^4\)

Итак, многочлен \((1-2a)^4\) с использованием бинома Ньютона и треугольника Паскаля записывается так:

\((1-2a)^4 = 1 - 8a + 24a^2 - 32a^3 + 16a^4\)