а) Какие значения переменной делают квадратный трехчлен 2x^2 - 7x + 6 положительным? б) Какие значения переменной

Загадочный_Пейзаж

11

Для решения этих задач, нам нужно найти значения переменной, при которых квадратные трехчлены будут положительными или отрицательными. Давайте начнем с первой задачи.

а) Для того чтобы определить, какие значения переменной делают квадратный трехчлен 2x^2 - 7x + 6 положительным, мы можем использовать два разных подхода: факторизацию и дискриминант.

1. Факторизация: Мы можем попытаться разложить квадратный трехчлен на множители и анализировать знаки множителей.
Наш квадратный трехчлен имеет вид 2x^2 - 7x + 6. Попробуем разложить его на множители:
2x^2 - 7x + 6 = (2x - 3)(x - 2)
Теперь обратим внимание на знаки множителей:
a) Если оба множителя положительны, то значение переменной, при котором квадратный трехчлен положительный, находится между корнями, то есть x > 2.
b) Если оба множителя отрицательны, то значение переменной, при котором квадратный трехчлен положительный, находится за корнями, то есть x < 3/2.

2. Дискриминант: Второй подход заключается в использовании дискриминанта. В данном случае, дискриминант равен b^2 - 4ac, где a = 2, b = -7 и c = 6.
D = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1
Если дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Значит, значение переменной, при котором квадратный трехчлен положительный, находится между этими корнями.

Таким образом, ответ для первой задачи будет:

а) Значения переменной, которые делают квадратный трехчлен 2x^2 - 7x + 6 положительным, это:
x > 2 или x < 3/2

Теперь перейдем ко второй задаче.

б) Для определения значений переменной, делающих квадратный трехчлен -3x^2 - x - 12 отрицательным, мы можем использовать аналогичные подходы.

1. Факторизация: Разложим квадратный трехчлен на множители:
-3x^2 - x - 12 = (-3x + 4)(x + 3)
Теперь обратим внимание на знаки множителей:
a) Если оба множителя положительны, то значение переменной, при котором квадратный трехчлен отрицательный, находится между корнями, то есть -3 < x < 4/3.
b) Если оба множителя отрицательны, то значение переменной, при котором квадратный трехчлен отрицательный, находится за корнями, то есть x < -3 или x > 4/3.

2. Дискриминант: Рассчитаем дискриминант для квадратного трехчлена -3x^2 - x - 12, где a = -3, b = -1 и c = -12.
D = (-1)^2 - 4(-3)(-12) = 1 - 144 = -143
Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет вещественных корней. Значит, значение переменной, при котором квадратный трехчлен отрицательный или положительный, находится за или между корнями.

Таким образом, ответ для второй задачи будет:

б) Значения переменной, которые делают квадратный трехчлен -3x^2 - x - 12 отрицательным, это:
x < -3 или -3 < x < 4/3 или x > 4/3