а) Какие значения переменной можно подставить в функцию, чтобы она была определена? б) Какие значения может принимать

Мистический_Жрец

62

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

а) Чтобы функция была определена, необходимо, чтобы ее аргумент находился в области определения. Областью определения функции является множество значений, которые можно подставить в функцию без получения ошибки или неопределенности. Например, если у нас есть функция вида \(f(x)\), где \(x\) - аргумент функции, то областью определения будет множество значений \(x\), для которых функция имеет смысл.

Чтобы определить, какие значения переменной можно подставить в функцию, нужно изучить ее особенности и ограничения. Например, если функция содержит выражение под корнем с неотрицательным значением, то аргумент должен быть неотрицательным, чтобы избежать извлечения корня из отрицательного числа.

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция \(f(x) = \sqrt{x}\). В этом случае областью определения будет множество неотрицательных чисел или \([0, +\infty)\), так как извлечение корня из отрицательного числа не является определенной операцией.

б) Значения, которые функция может принимать, называются областью значений функции. В общем случае, область значений может быть любым подмножеством числовой оси. Но чтобы определить область значений конкретной функции, нужно изучить ее особенности и ограничения.

Давайте продолжим наш пример с функцией \(f(x) = \sqrt{x}\). В этом случае, областью значений будет множество неотрицательных чисел или \([0, +\infty)\). Это происходит из-за особенностей извлечения корня: значение под корнем не может быть отрицательным, поэтому значение функции также не может быть отрицательным.

в) Чтобы определить, на каких интервалах функция положительна или отрицательна, нужно проанализировать ее поведение в разных областях определения.

Для этого, мы можем рассмотреть знак функции в разных интервалах. Например, если у нас есть функция \(f(x) = x^2 - 4\), то чтобы определить, на каких интервалах она положительна или отрицательна, нужно найти корни этой функции и выяснить, как меняется ее знак между корнями и за пределами корней.

Давайте решим этот пример. Чтобы найти корни функции \(f(x) = x^2 - 4\), мы приравняем ее к нулю и решим уравнение \(x^2 - 4 = 0\). Получаем \(x = -2\) и \(x = 2\).

Теперь мы знаем, что корни функции находятся в точках \(-2\) и \(2\). Анализируя знаки функции между корнями и за пределами корней, мы можем прийти к выводу, что функция положительна на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((2, +\infty)\), а отрицательна на интервале \((-2, 2)\).

г) Чтобы найти точки экстремума на графике функции, нужно найти значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не определена.

Давайте рассмотрим пример с функцией \(f(x) = x^2 - 4\). Чтобы найти точки экстремума, мы должны найти значения \(x\), при которых производная функции равна нулю или не определена.

Рассчитаем производную функции: \(f"(x) = 2x\). Чтобы найти точки экстремума, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение \(2x = 0\). Получаем \(x = 0\).

Теперь мы знаем, что точка экстремума на графике функции \(f(x) = x^2 - 4\) находится в точке \((0, -4)\).

д) Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проанализировать ее симметрию относительно начала координат. Функция является четной, если для любого значения \(x\) в области определения выполняется равенство \(f(x) = f(-x)\). Функция является нечетной, если для любого значения \(x\) в области определения выполняется равенство \(f(x) = -f(-x)\).

Давайте рассмотрим пример с функцией \(f(x) = x^2 - 4\). Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, мы должны подставить \(-x\) вместо \(x\) в функцию и сравнить результат с исходной функцией.

Подставляя \(-x\) вместо \(x\) в функцию \(f(x) = x^2 - 4\), получаем \(f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)\). Значит, функция \(f(x) = x^2 - 4\) является четной.

Таким образом, мы рассмотрели все подзадачи и ответили на вопросы а), б), в), г), д) для той функции, что была дана в задаче. Если у вас есть еще вопросы или нужно решить другую задачу, я с радостью помогу вам!