What is the expression for 6⋅(tg(2π−t)−sin(π+t))/ctg(π2+t)+sint?

Misticheskiy_Podvizhnik

3

Для начала, выразим числитель в более простой форме. У нас есть выражение \(\text{tg}(2\pi - t) - \text{sin}(\pi + t)\). Давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.

1. \(\text{tg}(2\pi - t)\): Тангенс угла, равного \(2\pi - t\), можно записать как \(\frac{\text{sin}(2\pi - t)}{\text{cos}(2\pi - t)}\). Поскольку синус периодичен, то \(\text{sin}(2\pi - t) = -\text{sin}(t)\). Аналогично, косинус также периодичен и равен \(\text{cos}(2\pi - t) = \text{cos}(t)\). Значит, получим \(\text{tg}(2\pi - t) = \frac{-\text{sin}(t)}{\text{cos}(t)} = -\text{tg}(t)\).

2. \(\text{sin}(\pi + t)\): Используя периодичность синуса, можем записать \(\text{sin}(\pi + t) = -\text{sin}(t)\).

Теперь, заменим числитель:

\(\text{tg}(2\pi - t) - \text{sin}(\pi + t) = -\text{tg}(t) - (-\text{sin}(t)) = -\text{tg}(t) + \text{sin}(t)\).

Поделим полученное выражение на знаменатель. Знаменатель \(\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + t) + \text{sin}(t)\) можно записать как \( \frac{\text{cos}(\frac{\pi}{2} + t)}{\text{sin}(\frac{\pi}{2} + t)} + \text{sin}(t) \).

1. Заметим, что \(\text{cos}(\frac{\pi}{2} + t) = -\text{sin}(t)\) и \(\text{sin}(\frac{\pi}{2} + t) = \text{cos}(t)\). Таким образом, получим \(\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + t) = \frac{-\text{sin}(t)}{\text{cos}(t)} = -\text{tg}(t)\).

2. Значит, знаменатель можно переписать как \(-\text{tg}(t) + \text{sin}(t)\).

Таким образом, мы получаем:

\[
\frac{-\text{tg}(t) + \text{sin}(t)}{-\text{tg}(t) + \text{sin}(t)}
\]

Очевидно, что числитель и знаменатель равны, следовательно, получаем ответ: 1. (ОБОСНОВАНИЕ: Числитель и знаменатель равны, так как произведение тангенса и косеканса - это 1)

Надеюсь, это ответ понятен вам.