а) Каково значение выражения sin54° - sin36°/sin9°? б) Чему равно значение выражения cos25 + cos85/cos55?

Блестящий_Тролль

35

с решением математических задач. Давайте начнём с первого вопроса:

а) Для вычисления значения выражения sin54° - sin36°/sin9°, мы будем использовать тригонометрические тождества.

1. Начнём с рассмотрения формулы разности для синуса: sin(a - b) = sin a*cos b - cos a*sin b.

2. Зная, что sin(90° - x) = cos x, мы можем переписать sin54° как sin(90° - 36°) и sin36° как sin(90° - 54°).

Теперь приступим к решению:

sin(54°) - sin(36°)/sin(9°)
= (sin(90° - 36°)*cos(36°) - cos(90° - 36°)*sin(36°))/sin(9°)
= (cos(36°)*cos(36°) - sin(36°)*sin(36°))/sin(9°)
= (cos²(36°) - sin²(36°))/sin(9°)

Теперь применим тождество для разности квадратов: cos²(x) - sin²(x) = cos(2x).

Получим:

= cos(2*36°)/sin(9°)
= cos(72°)/sin(9°)

Таким образом, значение выражения sin54° - sin36°/sin9° равно cos(72°)/sin(9°).

Перейдём ко второму вопросу:

б) Для вычисления значения выражения cos25 + cos85/cos55, мы также будем применять тригонометрические тождества.

Начнём решение:

cos(25°) + cos(85°)/cos(55°)

Обратите внимание, что cos(90° - x) = sin(x). Таким образом, cos(85°) можно переписать как sin(5°).

cos(25°) + sin(5°)/cos(55°)

Чтобы упростить дробь, введем формулу произведения синусов:

sin(a)*sin(b) = (1/2)*(cos(a-b) - cos(a+b))

Раскроем его:

sin(5°)*cos(55°) = (1/2)*(cos(5° - 55°) - cos(5° + 55°))
= (1/2)*(cos(-50°) - cos(60°))
= (1/2)*(cos(50°) - cos(60°))

Теперь можем подставить полученное выражение в исходное:

cos(25°) + (1/2)*(cos(50°) - cos(60°))/cos(55°)

Таким образом, значение выражения cos25 + cos85/cos55 равно cos(25°) + (1/2)*(cos(50°) - cos(60°))/cos(55°).

Перейдём к третьему вопросу:

в) Для понимания значения выражения sin16 + sin74/cos16 + cos74, также применим тригонометрические тождества.

sin(16°) + sin(74°)/cos(16°) + cos(74°)

Обратите внимание, что sin(90° - x) = cos(x). Таким образом, sin(74°) можно переписать как cos(16°).

sin(16°) + cos(16°)/cos(16°) + cos(74°)

Очевидно, что cos(16°)/cos(16°) = 1, поэтому можно сократить:

sin(16°) + 1 + cos(74°)

Таким образом, значение выражения sin16 + sin74/cos16 + cos74 равно sin(16°) + 1 + cos(74°).

Перейдём к четвертому вопросу:

г) Для понимания значения выражения cos40 - cos80/1 - 2sin²35, также применим тригонометрические тождества.

cos(40°) - cos(80°)/1 - 2*sin²(35°)

Мы знаем, что cos(2x) = 1 - 2*sin²(x). Таким образом:

cos(40°) - cos(80°)/1 - 2*(1 - cos²(35°))
= cos(40°) - cos(80°)/1 - 2 + 2*cos²(35°)
= -cos(80°) + 2*cos²(35°) - cos(40°)/3 - 2

Таким образом, значение выражения cos40 - cos80/1-2sin²35 равно -cos(80°) + 2*cos²(35°) - cos(40°)/(3 - 2).

Наконец, перейдем к пятому вопросу:

е) Для понимания значения выражения sin37 - sin53/2cos²36-1, также применим тригонометрические тождества.

sin(37°) - sin(53°)/2*cos²(36°) - 1

Мы знаем, что sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x). Таким образом:

sin(37°) - sin(53°)/(2*cos²(36°) - 1)
= sin(37°) - sin(53°)/(2*(1 - sin²(36°)) - 1)
= sin(37°) - sin(53°)/(2 - 2*sin²(36°) - 1)
= sin(37°) - sin(53°)/(1 - 2*sin²(36°))

Таким образом, значение выражения sin37 - sin53/2cos²36-1 равно sin(37°) - sin(53°)/(1 - 2*sin²(36°)).

Пожалуйста, обратите внимание, что значения выражений могут быть дальше упрощены, если известны числовые значения углов. Я рассчитал только аналитические решения для данных выражений.