a) Каковы первый член и знаменатель этой геометрической прогрессии, если известно, что q=2 и S3=635? b) Какова сумма

Chudo_Zhenschina

53

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

а) Задача говорит нам, что у нас есть геометрическая прогрессия с известным значением \(q=2\) и суммой первых трех членов \(S_3 = 635\). Мы хотим найти первый член прогрессии \(a\) и знаменатель \(q\).

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для суммы первых трех членов геометрической прогрессии:
\[S_3 = a + aq + aq^2\]

Подставим известные значения и решим уравнение:
\[635 = a + a \cdot 2 + a \cdot 2^2\]
\[635 = a + 2a + 4a\]
\[635 = 7a\]

Теперь найдем значение \(a\):
\[a = \frac{635}{7}\]
\[a = 91\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии \(a\) равен 91, а знаменатель \(q\) равен 2.

б) Теперь мы должны найти сумму первых восьми членов данной геометрической прогрессии. Для этого мы воспользуемся формулой для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = a \cdot \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}}\]

Подставим известные значения в формулу:
\[S_8 = 91 \cdot \frac{{2^8 - 1}}{{2 - 1}}\]
\[S_8 = 91 \cdot \frac{{256 - 1}}{{1}}\]
\[S_8 = 91 \cdot 255\]
\[S_8 = 23145\]

Таким образом, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии равна 23145.