а) Каковы значения x, при которых уравнение √6sin^2x+cosx=2sin(x+π/6) верно? б) Найдите значения x, при которых

Tainstvennyy_Akrobat

2

Дано уравнение \(\sqrt{6}\sin^2{x} + \cos{x} = 2\sin{\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}\) и нам нужно найти значения \(x\), при которых это уравнение верно.

Для начала, перепишем уравнение, заменив \(\sin^2{x}\) на \((1-\cos^2{x})\):
\(\sqrt{6}(1-\cos^2{x}) + \cos{x} = 2\sin{\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}\)

Раскроем скобку в выражении \(\sin{\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}\) с помощью формулы суммы:
\(\sqrt{6}(1-\cos^2{x}) + \cos{x} = 2\left(\sin{x}\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)} + \sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}\cos{x}\right)\)

Сократим коэффициенты и приведем подобные слагаемые:
\(\sqrt{6}(1-\cos^2{x}) + \cos{x} = \sqrt{6}\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x}\)

Раскроем скобку в выражении \(\sqrt{6}(1-\cos^2{x})\) и приведем подобные слагаемые:
\(\sqrt{6} - 6\cos^2{x} + \cos{x} = \sqrt{6}\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x}\)

Перенесем все слагаемые в одну сторону:
\(-6\cos^2{x} + \cos{x} - \sqrt{6}\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} - \sqrt{6} = 0\)

Соберем коэффициенты при квадрате косинуса, косинусе и синусе:
\(-6\cos^2{x} + (\cos{x} + \sqrt{3}\cos{x}) - \sqrt{6}\sin{x} - \sqrt{6} = 0\)

Сгруппируем слагаемые, содержащие косинус:
\(-6\cos^2{x} + 2\sqrt{3}\cos{x} - \sqrt{6}\sin{x} - \sqrt{6} = 0\)

Поделим всю уравнение на \(-1\), чтобы коэффициент при квадрате косинуса был положительным:
\(6\cos^2{x} - 2\sqrt{3}\cos{x} + \sqrt{6}\sin{x} + \sqrt{6} = 0\)

Теперь мы можем применить формулу квадратного трехчлена, чтобы решить это уравнение. Но перед этим проведем замену переменной, пусть \(t = \sin{x}\). Тогда \(\cos{x} = \sqrt{1-\sin^2{x}} = \sqrt{1-t^2}\).

Подставим эти значения в уравнение:
\(6(1-t^2) - 2\sqrt{3}\sqrt{1-t^2}t + \sqrt{6}t + \sqrt{6} = 0\)

Сократим числовые коэффициенты:
\(6(1 - t^2) - 2\sqrt{3}\sqrt{1-t^2}t + \sqrt{6}t + \sqrt{6} = 0\)

Раскроем скобки:
\(6 - 6t^2 - 2\sqrt{3}t\sqrt{1-t^2} + \sqrt{6}t + \sqrt{6} = 0\)

Приведем подобные слагаемые:
\(6 - 6t^2 + \sqrt{6}t - 2\sqrt{3}t\sqrt{1-t^2} + \sqrt{6} = 0\)

Теперь мы имеем уравнение только относительно \(t\), которое можно решить с помощью квадратного трехчлена. Получаем:
\(-6t^2 - 2\sqrt{3}t\sqrt{1-t^2} + \sqrt{6}t + 6 + \sqrt{6} = 0\)

Решим это уравнение и найдем значения \(t\). После этого можно будет найти соответствующие значения \(x\) с помощью обратных тригонометрических функций, так как \(t = \sin{x}\).

Пожалуйста, подождите немного, пока я решу это уравнение и найду значения \(t\).