a) Можно ли утверждать, что если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то одно из чисел также делится

Тайсон

4

на 6?

а) Да, можно утверждать, что если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то одно из чисел также делится на 6. Докажем это пошагово.

Пусть у нас есть два натуральных числа \(a\) и \(b\), таких что их произведение \(ab\) делится на 6.

Так как произведение \(ab\) делится на 6, это означает, что оно является кратным 6, то есть можно записать \(ab = 6k\), где \(k\) - это некоторое целое число.

Разложим число 6 на простые множители: \(6 = 2 \cdot 3\).

Теперь рассмотрим две ситуации:

1. Если число \(a\) делится на 2 или 3, то можно сказать, что одно из чисел делится на 6. Например, если \(a\) делится на 2, то можно записать \(a = 2m\), где \(m\) - целое число. Тогда \(ab = (2m)b = 6k\), откуда \(2mb = 6k\), и получаем, что \(b = 3k/m\). В этом случае число \(b\) также будет делиться на 6.

2. Если число \(a\) не делится ни на 2, ни на 3, то это означает, что \(a\) является кратным 6. То есть можно записать \(a = 6n\), где \(n\) - целое число. Тогда \(ab = (6n)b = 6k\), откуда \(6nb = 6k\), и получаем, что \(nb = k\). Здесь также видно, что число \(b\) будет делиться на 6.

Итак, как мы видим, в обоих случаях одно из чисел, либо \(a\), либо \(b\), является кратным 6, что доказывает, что если произведение двух натуральных чисел делится на 6, то одно из чисел также делится на 6.

б) Нужно отрицательно ответить на этот вопрос, так как условие, при котором произведение двух чисел делится на 6, не является необходимым для того, чтобы одно из чисел делится на 6.

Рассмотрим простой пример: выберем два числа, например, 2 и 9. Их произведение равно 18, что делится на 6. Однако, ни одно из этих чисел 2 и 9 не делится на 6. То есть, произведение двух чисел может быть кратным 6 без необходимости деления одного из них на 6.