А) Найдите решение уравнения log6(5√3 *sin x-cos2x-7)=0 б) Определите значения x, при которых уравнение имеет корни

Dasha

9

Давайте решим данное уравнение по шагам:

а) Уравнение: \(\log_6(5\sqrt{3}\sin(x) - \cos^2(x) - 7) = 0\)

Шаг 1: Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
По свойству логарифма \(\log_a(b) = c\) эквивалентно \(a^c = b\).

Таким образом, получаем: \(6^0 = 5\sqrt{3}\sin(x) - \cos^2(x) - 7\).

Шаг 2: Упростим выражение, используя известные тождества:

Учитывая, что \(6^0 = 1\), получаем:
\(1 = 5\sqrt{3}\sin(x) - \cos^2(x) - 7\).

Шаг 3: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
\(0 = 5\sqrt{3}\sin(x) - \cos^2(x) - 7 - 1\).

Таким образом, имеем:
\(0 = 5\sqrt{3}\sin(x) - \cos^2(x) - 8\).

Шаг 4: Применим тригонометрический тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).

Подставим это выражение в уравнение:
\(0 = 5\sqrt{3}\sin(x) - (1 - \sin^2(x)) - 8\).

Шаг 5: Приведем уравнение к квадратному виду.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(0 = 5\sqrt{3}\sin(x) - 1 + \sin^2(x) - 8\).

Упростим:
\(0 = \sin^2(x) + 5\sqrt{3}\sin(x) - 9\).

Шаг 6: Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем уравнение к квадратному виду:
\(\sin^2(x) + 5\sqrt{3}\sin(x) - 9 = 0\).

b) Чтобы определить значения x, при которых уравнение имеет корни на интервале \([-2\pi; -\pi]\), мы должны решить уравнение на этом интервале и объяснить, почему оно имеет корни.

Шаг 1: Решим квадратное уравнение \(\sin^2(x) + 5\sqrt{3}\sin(x) - 9 = 0\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).

a = 1, b = 5\sqrt{3}, c = -9:

\(D = (5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)\)
\(D = 75 + 36\)
\(D = 111\).

Шаг 2: Рассмотрим значения дискриминанта D:
- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае \(D = 111 > 0\), поэтому уравнение имеет два различных корня.

Шаг 3: Решим уравнение \(\sin^2(x) + 5\sqrt{3}\sin(x) - 9 = 0\), используя формулу квадратного корня:
\(\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения:
\(\sin(x) = \frac{-5\sqrt{3} \pm \sqrt{111}}{2}\).

Шаг 4: Найдем значения \(\sin(x)\) и соответствующие значения \(x\).

\(\sin(x) = \frac{-5\sqrt{3} + \sqrt{111}}{2}\), \(x_1 = \arcsin\left(\frac{-5\sqrt{3} + \sqrt{111}}{2}\right)\).

\(\sin(x) = \frac{-5\sqrt{3} - \sqrt{111}}{2}\), \(x_2 = \arcsin\left(\frac{-5\sqrt{3} - \sqrt{111}}{2}\right)\).

Шаг 5: Проверим, лежат ли найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в интервале \([-2\pi; -\pi]\).

Если \(x_1\) и \(x_2\) лежат в интервале \([-2\pi; -\pi]\), то уравнение имеет корни на этом интервале. Если нет, то уравнение не имеет корней на данном интервале.

Интервал \([-2\pi; -\pi]\) соответствует значениям x от \(-2\pi\) до \(-\pi\), включая границы.

Проверим значения \(x_1\) и \(x_2\):
- Если \(x_1\) и \(x_2\) лежат в интервале \([-2\pi; -\pi]\), уравнение имеет корни на этом интервале.
- Если \(x_1\) и \(x_2\) не лежат в интервале \([-2\pi; -\pi]\), уравнение не имеет корней на этом интервале.

Таким образом, чтобы определить значения \(x\), при которых уравнение имеет корни на интервале \([-2\pi; -\pi]\), нужно проверить, лежат ли найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в данном интервале.