A) Найдите решение уравнения: логарифм по основанию 4 от (2 в степени 2x минус корень из 3 cos x минус sin 2x) равен

Романович

4

Хорошо! Давайте решим данную задачу.

A) Найдем решение уравнения: ${\log }_4(2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x)=x$.

Для начала, заметим, что у нас есть композиция логарифма с выражением внутри. Для решения таких задач, мы должны переписать уравнение в эквивалентной форме, исключив логарифм.

Используя свойство логарифма ${\log }_a(b)=c$ эквивалентно $a^c=b$, мы можем записать уравнение в виде:

$4^x=2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x$.

Теперь у нас есть новое нелинейное уравнение для решения. Решим его пошагово.

1. Обозначим $y=2^x$. Тогда мы можем заменить $2^{2x}$ в данном уравнении на $y^2$:

$4^x=y^2-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x$.

2. Раскроем $\sin 2x$ через формулу двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$4^x=y^2-\sqrt{3}\cos x-2\sin x\cos x$.

3. Заменим $\cos x$ и $\sin x$ через ${\cos }^{2}x$ с использованием тригонометрической формулы: ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$:

$4^x=y^2-\sqrt{3}(1-{\sin }^{2}x)-2\sin x(1-{\sin }^{2}x)$.

4. Упростим уравнение:

$4^x=y^2-\sqrt{3}+\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2\sin x+2{\sin }^{3}x$.

5. Теперь у нас есть уравнение, содержащее только переменные $x$ и $y$:

$4^x=y^2-\sqrt{3}+\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2\sin x+2{\sin }^{3}x$.

6. Мы можем использовать математический программный пакет или численные методы для решения этого уравнения и найти значения $x$ и $y$, удовлетворяющие ему.

B) По заданию, нам нужно определить все значения $x$, являющиеся корнями этого уравнения и находящимися в интервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$.

Для решения этой части задачи, мы можем использовать найденные значения $x$ из предыдущего решения уравнения (часть A) и проверить их, лежат ли они в указанном интервале. Если да, то эти значения $x$ будут ответом на вторую часть задачи.

Надеюсь, данный подробный разбор помог вам понять, как решить данное уравнение и найти значения $x$ в интервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{3\pi }{2}$.