A) Найдите решение уравнения: логарифм по основанию 4 от (2 в степени 2x минус корень из 3 cos x минус sin 2x) равен

Романович

4

Хорошо! Давайте решим данную задачу.

A) Найдем решение уравнения: \(\log_4(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x) = x\).

Для начала, заметим, что у нас есть композиция логарифма с выражением внутри. Для решения таких задач, мы должны переписать уравнение в эквивалентной форме, исключив логарифм.

Используя свойство логарифма \(\log_a(b) = c\) эквивалентно \(a^c = b\), мы можем записать уравнение в виде:

\(4^x = 2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x\).

Теперь у нас есть новое нелинейное уравнение для решения. Решим его пошагово.

1. Обозначим \(y = 2^x\). Тогда мы можем заменить \(2^{2x}\) в данном уравнении на \(y^2\):

\(4^x = y^2 - \sqrt{3}\cos x - \sin 2x\).

2. Раскроем \(\sin 2x\) через формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):

\(4^x = y^2 - \sqrt{3}\cos x - 2\sin x \cos x\).

3. Заменим \(\cos x\) и \(\sin x\) через \(\cos^2 x\) с использованием тригонометрической формулы: \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\):

\(4^x = y^2 - \sqrt{3}(1 - \sin^2 x) - 2\sin x(1 - \sin^2 x)\).

4. Упростим уравнение:

\(4^x = y^2 - \sqrt{3} + \sqrt{3}\sin^2 x - 2\sin x + 2\sin^3 x\).

5. Теперь у нас есть уравнение, содержащее только переменные \(x\) и \(y\):

\(4^x = y^2 - \sqrt{3} + \sqrt{3}\sin^2 x - 2\sin x + 2\sin^3 x\).

6. Мы можем использовать математический программный пакет или численные методы для решения этого уравнения и найти значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие ему.

B) По заданию, нам нужно определить все значения \(x\), являющиеся корнями этого уравнения и находящимися в интервале от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\).

Для решения этой части задачи, мы можем использовать найденные значения \(x\) из предыдущего решения уравнения (часть A) и проверить их, лежат ли они в указанном интервале. Если да, то эти значения \(x\) будут ответом на вторую часть задачи.

Надеюсь, данный подробный разбор помог вам понять, как решить данное уравнение и найти значения \(x\) в интервале от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\).