а) Найдите значение выражения (λa+μb)∙(νa+τb). б) Найдите проекцию вектора (νa+τb) на вектор a. в) Найдите косинус угла

Сквозь_Холмы

20

Давайте решим данную задачу поэтапно.

а) Найдем значение выражения \((\lambda a + \mu b) \cdot (\nu a + \tau b)\).

Для начала, вспомним, что умножение вектора на вектор можно выполнить по правилу распределительности:

\((\lambda a + \mu b) \cdot (\nu a + \tau b) = \lambda \nu a \cdot a + \lambda \nu a \cdot b + \mu \tau b \cdot a + \mu \tau b \cdot b\).

Теперь вычислим каждую составляющую как скалярное произведение векторов:

а) \(\lambda \nu a \cdot a\) - здесь вектор а умножается сам на себя, что равно квадрату его длины \(\left|a\right|^2\).
б) \(\lambda \nu a \cdot b\) - здесь векторы a и b скалярно умножаются.

Вспомним, что скалярное произведение двух векторов a и b равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: \(a \cdot b = \left|a\right| \cdot \left|b\right| \cdot \cos(\varphi)\), где \(\varphi\) - угол между векторами a и b. С учетом данного равенства \(\lambda \nu a \cdot b = \lambda \nu \left|a\right| \cdot \left|b\right| \cdot \cos(\varphi_{ab})\).

в) Аналогично, \(\mu \tau b \cdot a\) можно выразить как \(\mu \tau \left|b\right| \cdot \left|a\right| \cdot \cos(\varphi_{ba})\).

г) И наконец, \(\mu \tau b \cdot b\) - здесь вектор b умножается сам на себя, равносильно квадрату его длины \(\left|b\right|^2\).

Соответственно, общая сумма значений будет следующей:

\(\lambda \nu \left|a\right|^2 + \lambda \nu \left|a\right| \cdot \left|b\right| \cdot \cos(\varphi_{ab}) + \mu \tau \left|b\right| \cdot \left|a\right| \cdot \cos(\varphi_{ba}) + \mu \tau \left|b\right|^2\).

б) Теперь перейдем ко второму пункту - найдем проекцию вектора \(\nu a + \tau b\) на вектор a.

Проецирование вектора на другой вектор вычисляется по формуле:

\(\text{proj}_{a}(\nu a + \tau b) = \frac{{(\nu a + \tau b) \cdot a}}{{\left|a\right|^2}} \cdot a\).

Здесь \((\nu a + \tau b) \cdot a\) - скалярное произведение векторов \(\nu a + \tau b\) и a, \(\left|a\right|^2\) - квадрат длины вектора a. Результат будет представлять из себя проекцию вектора \(\nu a + \tau b\) на вектор a, направление которой совпадает с направлением вектора a.

в) Наконец, перейдем к третьему пункту - найдем косинус угла между векторами a и \(\tau b\).

Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения по формуле:

\(\cos(\varphi_{a\tau b}) = \frac{{a \cdot \tau b}}{{\left|a\right| \cdot \left|\tau b\right|}}\).

Таким образом, окончательно имеем:

а) \(\lambda \nu \left|a\right|^2 + \lambda \nu \left|a\right| \cdot \left|b\right| \cdot \cos(\varphi_{ab}) + \mu \tau \left|b\right| \cdot \left|a\right| \cdot \cos(\varphi_{ba}) + \mu \tau \left|b\right|^2\);
б) \(\frac{{(\nu a + \tau b) \cdot a}}{{\left|a\right|^2}} \cdot a\);
в) \(\cos(\varphi_{a\tau b}) = \frac{{a \cdot \tau b}}{{\left|a\right| \cdot \left|\tau b\right|}}\).

Теперь, подставляя все известные значения переменных, мы можем вычислить ответы по формулам. Я выполню все расчеты и предоставлю вам числовые значения результатов.