А) Постройте диаграмму для функции f(x) = x^2 - 4x + 3. б) Нужно узнать, проходит ли график этой функции через точку

Сквозь_Тьму

31

Конечно, я помогу вам с этой задачей.

А) Для построения диаграммы функции \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) нам понадобится сначала построить оси координат. По горизонтальной оси будем откладывать значения \( x \), а по вертикальной оси — значения функции \( f(x) \).

Для начала найдем точки, в которых график функции пересекает ось \( x \), то есть значения \( x \), для которых \( f(x) = 0 \). Для этого приравняем функцию к нулю и решим получившееся квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Факторизуем это уравнение:

\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]

Отсюда получаем две точки пересечения с осью \( x \): \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

Теперь найдем вершину параболы. Для этого вспомним, что вершина параболы с уравнением \( y = ax^2 + bx + c \) имеет координаты \( x = -\frac{b}{2a} \) и \( y = -\frac{D}{4a} \), где \( D \) — дискриминант, равный \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -4 \) и \( c = 3 \). Подставим значения в формулы:

\[ x = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \]
\[ y = -\frac{(-4)^2 - 4(1)(3)}{4(1)} = 1 \]

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \( (2, 1) \).

Теперь мы знаем, что график функции \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) пересекает ось \( x \) в точках \( (1, 0) \) и \( (3, 0) \), а его вершина находится в точке \( (2, 1) \).

Нарисуем диаграмму, отметив эти точки:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & & & (1,0) & & & & \\
& & & \curvearrowup & & \curvearrowdown & & & \\
& & & & & & & & \\
& & & & & & & & \\
& & & & & (2,1) & & & \\
& & & & & \curvearrowdown & & & \\
& & & & (3,0) & & & & \\
& & & \curvearrowdown & & \curvearrowup & & & \\
\end{array}
\]

Таким образом, построена диаграмма для функции \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

б) Чтобы узнать, проходит ли график этой функции через точку А(-2; 12), нам нужно проверить, выполняется ли равенство \( f(-2) = 12 \).

Подставим значение \( x = -2 \) в функцию:

\[ f(-2) = (-2)^2 - 4(-2) + 3 = 4 + 8 + 3 = 15 \]

Из этого следует, что график функции \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) не проходит через точку А(-2; 12).

в) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \), мы должны проанализировать производную этой функции.

Вычислим производную функции \( f"(x) \):

\[ f"(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 4x + 3) = 2x - 4 \]

Производная задает наклон графика функции в каждой точке.

Теперь нам нужно найти значения \( x \), для которых производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции. Решим уравнение \( 2x - 4 = 0 \):

\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]

Таким образом, экстремум функции находится в точке \( (2, f(2)) \).

Анализируя знак производной в разных интервалах, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции:

- Когда \( x < 2 \), \( f"(x) < 0 \), что означает, что функция убывает на этом интервале.
- Когда \( x > 2 \), \( f"(x) > 0 \), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, интервал убывания функции - \( (-\infty, 2) \), а интервал возрастания - \( (2, +\infty) \).

Таково решение задачи построения диаграммы для функции \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \), проверки прохождения графика через точку А(-2; 12) и определения интервалов возрастания и убывания функции. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.