а) Решите равенство sin2x=cos(x-3п/2) б) Найдите все значения x, для которых равенство sin2x=cos(x-3п/2) выполняется

Maksimovich

54

Конечно! Давайте решим данную задачу по шагам.

а) Начнем с решения уравнения \(\sin^2x = \cos(x - \frac{3\pi}{2})\):

1. Преобразуем выражение \(\cos(x - \frac{3\pi}{2})\) с использованием формулы "косинуса разности": \(\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = \cos x \sin \frac{3\pi}{2} - \sin x \cos \frac{3\pi}{2}\).
2. Упростим: \(\cos(x - \frac{3\pi}{2}) = -\sin x\).
3. Исходное уравнение теперь выглядит так: \(\sin^2x = -\sin x\).
4. Приравняем уравнение к нулю: \(\sin^2x + \sin x = 0\).

Теперь рассмотрим возможные значения x для которых это уравнение выполняется.

i) Если \(\sin x = 0\), то это означает, что x может быть равным 0, \(\pi\), \(2\pi\), \(3\pi\), и так далее.

ii) Если \(\sin x = -1\), то \(x = \frac{3\pi}{2}\).

Таким образом, решением данного уравнения являются следующие значения x: 0, \(\pi\), \(2\pi\), \(3\pi\), и \(\frac{3\pi}{2}\).

б) Теперь найдем все значения x, для которых уравнение \(\sin^2x = \cos(x - \frac{3\pi}{2})\) выполняется на интервале \((\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2})\):

1. Посмотрим на начальные значения x в данном интервале: \(\frac{5\pi}{2}\) и \(\frac{7\pi}{2}\).
2. Проверим, выполняется ли уравнение для этих значений x:
- Для \(x = \frac{5\pi}{2}\), уравнение превращается в \(\sin^2(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2} - \frac{3\pi}{2})\).
- \(\sin^2(\frac{5\pi}{2}) = (-1)^2 = 1\).
- \(\cos(\frac{5\pi}{2} - \frac{3\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1\).
- Для \(x = \frac{7\pi}{2}\), уравнение превращается в \(\sin^2(\frac{7\pi}{2}) = \cos(\frac{7\pi}{2} - \frac{3\pi}{2})\).
- \(\sin^2(\frac{7\pi}{2}) = (-1)^2 = 1\).
- \(\cos(\frac{7\pi}{2} - \frac{3\pi}{2}) = \cos(2\pi) = 1\).

В обоих случаях уравнение не выполняется.

Таким образом, на интервале \((\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2})\) нет значений x, для которых уравнение \(\sin^2x = \cos(x - \frac{3\pi}{2})\) выполняется.

Это и есть ответ, давайте перейдем к следующей задаче!