а) Які градуси відповідають куту, який має радіанну міру 4,5, frac{2}{5}π, - frac{π}{9}? б) Які градуси відповідають

Яблоко

8

а) Чтобы найти градусы, соответствующие данным радианам, мы можем использовать формулу для перевода из радиан в градусы. Формула выглядит следующим образом:

\(градусы = \frac{180}{\pi} \cdot радианы\)

а) Для первого угла, где радианная мера равна 4,5, мы можем подставить это значение в формулу и рассчитать:

\(градусы = \frac{180}{\pi} \cdot 4,5 \approx 257,86\) градусов.

Для второго угла, где радианная мера равна \(\frac{2}{5}\pi\), мы можем вычислить:

\(градусы = \frac{180}{\pi} \cdot \frac{2}{5}\pi \approx 72\) градуса.

Наконец, для последнего угла, где радианная мера равна \(-\frac{\pi}{9}\), мы можем рассчитать:

\(градусы = \frac{180}{\pi} \cdot -\frac{\pi}{9} \approx -20\) градусов.

Таким образом, градусы, соответствующие данным радианам, равны примерно 257,86 градусов, 72 градуса и -20 градусов соответственно.

б) Для данного вопроса, чтобы найти градусы, соответствующие данным углам, мы просто используем данные углы напрямую.

Для угла 210°, ответом будет 210 градусов.

Для угла 108°, ответом будет 108 градусов.

Для угла -45°, ответом будет -45 градусов.

Таким образом, градусы, соответствующие данным углам, равны 210 градусам, 108 градусам и -45 градусам соответственно.

2) Для этого примера, мы можем использовать известные значения тригонометрических функций, чтобы найти значение выражения.

Для упрощения, давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности:

\(sin450°\) равно \(\frac{1}{2}\), так как синус 450 градусов равен синусу 90 градусов, который равен 1, а 450 градусов находится во второй четверти, в которой синус отрицательный.

\(ctg570°\) можно записать как \(\frac{1}{tg570°}\), а тангенс 570 градусов равен тангенсу 180 градусов, который равен 0. Таким образом, \(ctg570°\) не имеет определенного значения, потому что он является делением на ноль.

Суммируя эти значения, мы получаем \(\frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\).

Таким образом, значение выражения \(sin450°+ctg570°\) равно \(\frac{1}{2}\).

б) Для данного вопроса, нам нужно последовательно вычислить выражение, используя известные значения тригонометрических функций.

Давайте посмотрим на каждую функцию по отдельности:

\(4cos\frac{\pi}{6}\) равно \(4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), так как косинус \(\frac{\pi}{6}\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(sin(-\frac{\pi}{3} + cos(-\frac{\pi}{2} - tg(-\frac{\pi}{4})))\) можно разбить на несколько частей:

1. \(cos(-\frac{\pi}{2} - tg(-\frac{\pi}{4})) = cos(-\frac{\pi}{2} + 1) = cos(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. \(-\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}\).
3. \(sin(-\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2})\).

Известные значения синуса и косинуса делаем по формулам:

\(sin(-\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = sin(-\frac{\sqrt{6}}{6}) \cdot cos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + cos(-\frac{\sqrt{6}}{6}) \cdot sin(\frac{\sqrt{2}}{2})\).

По формулам синуса и косинуса, заменяя значения, получаем:

\(sin(-\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + cos(-\frac{\sqrt{6}}{6}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставляем соответствующие значения:

\(sin(-\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь мы можем объединить все рассчитанные значения, чтобы получить окончательный ответ:

\(4cos\frac{\pi}{6}sin(-\frac{\pi}{3} + cos(-\frac{\pi}{2} - tg(-\frac{\pi}{4})))\) равно \(4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)\).

Упрощаем выражение:

\(4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{6}}{3}\).

Таким образом, значение выражения \(4cos\frac{\pi}{6}sin(-\frac{\pi}{3} + cos(-\frac{\pi}{2} - tg(-\frac{\pi}{4})))\) равно \(2 \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{6}}{3}\).

3) Для данного вопроса, нам нужно найти значения тригонометрических функций по заданному значению синуса.

Для начала, давайте рассмотрим следующую формулу:

\(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1\), которая является фундаментальной тригонометрической идентичностью.

Подставляя значение \(sin \alpha = 0,6\), мы можем решить данное уравнение:

\(cos^2 \alpha + 0,6^2 = 1\).

Решая это уравнение, мы получаем \(cos^2 \alpha = 0,64\).

Теперь мы можем извлечь квадратный корень с обоих сторон уравнения:

\(cos \alpha = \sqrt{0,64}\).

Полученное значение равно \(0,8\).

Таким образом, значение косинуса угла \(\alpha\) равно \(0,8\).

Далее, мы можем использовать известное значение синуса и косинуса для нахождения значения других тригонометрических функций:

\(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\), заменяя значения, получаем:

\(tg \alpha = \frac{0,6}{0,8}\), что равно \(0,75\).

\(ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}\), заменяя значение \(tg \alpha\), получаем:

\(ctg \alpha = \frac{1}{0,75}\), что равно примерно \(1,333\).

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла \(\alpha\), где \(sin \alpha = 0,6\) и \(\frac{\pi}{2}\), равны:

\(cos \alpha = 0,8\), \(tg \alpha = 0,75\) и \(ctg \alpha = 1,333\).