Чему равен числитель дроби 11⋅(tg(2π−t)−sin(π+t)), а знаменатель cтг(π2+t)+sint?

Солнечный_День

24

Для начала, давайте вычислим числитель данной дроби:

\[11 \cdot (\tan(2\pi - t) - \sin(\pi + t))\]

Чтобы понять, как получить значение этого выражения, давайте разберемся с каждым из трех слагаемых по очереди.

Первое слагаемое: \(\tan(2\pi - t)\)
Тангенс — это тригонометрическая функция, которая определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. В данном случае, у нас имеется аргумент \(2\pi - t\). Известно, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом \(2\pi\). Это означает, что \(\sin(2\pi - t) = \sin(-t)\) и \(\cos(2\pi - t) = \cos(-t)\). Вспоминая свойства тригонометрических функций, мы знаем, что \(\sin(-t) = -\sin(t)\) и \(\cos(-t) = \cos(t)\). Поэтому, можно преобразовать выражение следующим образом:

\[\tan(2\pi - t) = \frac{\sin(2\pi - t)}{\cos(2\pi - t)} = \frac{-\sin(t)}{\cos(t)} = -\tan(t)\]

Второе слагаемое: \(\sin(\pi + t)\)
Аналогично предыдущему слагаемому, вспомнив свойства тригонометрических функций, мы знаем, что \(\sin(\pi + t) = \sin(\pi - t) = \sin(-t) = -\sin(t)\).

Теперь, объединим третье слагаемое со вторым и преобразуем выражение:

\[11 \cdot (\tan(2\pi - t) - \sin(\pi + t)) = 11 \cdot (-\tan(t) - (-\sin(t))) = 11 \cdot (-\tan(t) + \sin(t))\]

Таким образом, мы получили числитель дроби \(11 \cdot (-\tan(t) + \sin(t))\).

Теперь давайте вычислим знаменатель:

\(\cos(\frac{\pi}{2} + t) + \sin(t)\)

Аналогично предыдущим преобразованиям, мы можем заметить, что \(\cos(\frac{\pi}{2} + t) = \sin(t)\).

Теперь, объединим слагаемые и вычислим знаменатель:

\(\cos(\frac{\pi}{2} + t) + \sin(t) = \sin(t) + \sin(t) = 2\sin(t)\)

Таким образом, знаменатель данной дроби равен \(2\sin(t)\).

Итак, мы получили числитель дроби: \(11 \cdot (-\tan(t) + \sin(t))\) и знаменатель: \(2\sin(t)\).