Чему равен коэффициент при х^n в разложении бинома ньютона: 1) (x + 2)^10, при n = 3; 2) (1 - 2x)^7, при n

Загадочная_Сова

13

Конечно! Давайте решим обе задачи по порядку.

1) Разложим бином Ньютона (x + 2)^10 по формуле бинома Ньютона:

\[(x + 2)^{10} = C_{10}^{0}x^{10}\cdot2^0 + C_{10}^{1}x^9\cdot2^1 + C_{10}^{2}x^8\cdot2^2 + C_{10}^{3}x^7\cdot2^3 + ...\]

Здесь \(C_{10}^{3}\) обозначает биномиальный коэффициент. Так как нам нужно найти коэффициент при \(x^3\), то нам интересует третий слагаемый в разложении. Подставим значения в формулу, где \(n = 10\) и \(k = 3\):

\[C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = 120\]

Таким образом, коэффициент при \(x^3\) в разложении бинома Ньютона (x + 2)^10 равен 120.

2) Разложим бином Ньютона (1 - 2x)^7:

\[(1 - 2x)^7 = C_{7}^{0}1^7\cdot(-2x)^0 + C_{7}^{1}1^6\cdot(-2x)^1 + C_{7}^{2}1^5\cdot(-2x)^2 + C_{7}^{3}1^4\cdot(-2x)^3 + ...\]

Аналогично первой задаче, мы ищем коэффициент при \(x^n\), где \(n\) - степень, которую выбирают для разложения бинома Ньютона. Подставим значения в формулу, где \(n = 7\) и \(k = n\):

\[C_{7}^{n} = \frac{7!}{n!(7-n)!}\]

Таким образом, для второй задачи достаточно указать, какой \(n\) вам интересен, чтобы найти соответствующий коэффициент.

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти коэффициенты при \(x^n\) в разложении бинома Ньютона. Если у вас остались вопросы или вам нужно подробнее описать шаги решения, пожалуйста, скажите, и я с радостью помогу вам.