Чему равна длина стороны AC в треугольнике ABC, если угол B равен 30 градусам, угол A равен 105 градусам, а AB равно

Загадочный_Магнат

61

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему синусов.

В треугольнике АВС у нас заданы два угла: угол B равен 30 градусам и угол A равен 105 градусам. Давайте применим теорему синусов для нахождения длины стороны АС.

Теорема синусов гласит: в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно постоянной величине. Используя эту теорему, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(105^\circ)}
\]

Заметим, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\). Подставив эти значения, мы получим:

\[
\frac{10\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}
\]

Для решения уравнения относительно AC умножим обе части на \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\):

\[
AC = \frac{10\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}
\]

Теперь давайте упростим это выражение:

\[
AC = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}
\]

Чтобы устранить знаменатель с радикалами, перемножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\):

\[
AC = \frac{20\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}
\]

Произведение разностей квадратов равно разности квадратов, поэтому \((\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \sqrt{6}^2 - \sqrt{2}^2 = 6 - 2 = 4\). Продолжим упрощение:

\[
AC = \frac{20\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{5\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{1} = 5\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})
\]

Таким образом, длина стороны AC в треугольнике ABC равна \(5\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\).