Чему равно 2020-е число в упорядоченном ряду хороших чисел, полученных путем выписывания последовательных нечетных

Skvoz_Holmy

47

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо понять, как строится упорядоченный ряд хороших чисел, полученных путем выписывания последовательных нечетных натуральных чисел по спирали.

Для начала, давайте определим, что такое хорошее число. Хорошим числом называется такое число, которое стоит на квадрате $n\times n$ при построении спирали с центром в начале координат (0, 0), где $n$ - натуральное число. То есть, если мы начнем строить спираль, последовательно выписывая нечетные числа, то на $n$-ом квадрате мы получим хорошее число.

Теперь рассмотрим основные этапы построения ряда хороших чисел:
1. На первом квадрате, который будет иметь размер $1\times 1$, мы получим хорошее число 1.
2. На следующем квадрате размером $3\times 3$ мы получим хорошее число 9. Заметим, что каждый следующий квадрат будет иметь размер $n\times n$, где $n$ - нечетное число.
3. На следующем квадрате размером $5\times 5$ мы получим хорошее число 25. Заметим, что каждый следующий квадрат будет иметь размер на 2 больше предыдущего квадрата, то есть $n+2\times n+2$.
4. Продолжая этот процесс, мы можем выписать все последовательные хорошие числа, таким образом построив упорядоченный ряд хороших чисел.

Теперь, чтобы найти $2020$-е число в упорядоченном ряду хороших чисел, нам нужно продолжить этот ряд и считать хорошие числа, пока не достигнем $2020$-го числа.

Примерно так будет выглядеть первая часть ряда хороших чисел:
1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, ...

Следующим шагом мы должны заполнить пропущенные числа в ряду. Для этого мы можем заметить, что между каждыми двумя последовательными хорошими числами имеется определенная разница. Разница между хорошими числами на $n$-ом квадрате и $(n-2)$-ом квадрате равна $(2\times (n-1))$.

Рассмотрим разницу между хорошими числами на $5$-ом и $3$-ем квадратах:
$(2\times (5-1))=8$.

Теперь, зная эту разницу, мы можем продолжить ряд хороших чисел до тех пор, пока не достигнем $2020$-го числа.
$$1,9,25,49,81,121,169,225,289,361,441,529,625,729,...$$

Продолжая ряд хороших чисел, мы можем заметить, что разница между хорошими числами постоянна и равна $8$. Таким образом, чтобы найти $2020$-е число в ряду, мы можем воспользоваться следующей формулой:
$$2020\text{-е число}=\text{первое число}+(2020-1)\times \text{разница}$$

Подставим значения в формулу:
$$\text{первое число}=1,\text{разница}=8$$
$$2020\text{-е число}=1+(2020-1)\times 8$$
$$2020\text{-е число}=1+2019\times 8$$
$$2020\text{-е число}=1+16152$$
$$2020\text{-е число}=16153$$

Таким образом, $2020$-е число в упорядоченном ряду хороших чисел, полученных путем выписывания последовательных нечетных натуральных чисел по спирали, равно $16153$.