Чему равно значение производной y (x), если y(x) = 3x/(x^2+1)?

Скользящий_Тигр_4493

38

Для решения этой задачи мы воспользуемся правилом дифференцирования функции по правилу производной частного. Давайте найдем производные каждой части уравнения.

Начнем с первой производной функции y(x):

$$y"(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)$$

Для удобства дифференцирования, можно представить функцию как произведение двух функций: $u(x)=3x$ и $v(x)=(x^2+1{)}^{-1}$.

Применим правило производной частного, которое гласит: если у нас есть две функции u(x) и v(x), производная их частного равна

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u"(x)v(x)-u(x)v"(x)}{(v(x){)}^2}$$

Теперь найдем производные функций u(x) и v(x):

$$u"(x)=\frac{d}{dx}(3x)=3$$
$$v"(x)=\frac{d}{dx}((x^2+1{)}^{-1})=-2x(x^2+1{)}^{-2}$$

Теперь мы можем заменить значения производных в формуле для y"(x):

$$y"(x)=\frac{3(x^2+1{)}^{-1}-3x(-2x(x^2+1{)}^{-2})}{(x^2+1{)}^2}$$

Далее, чтобы найти вторую производную, возьмем производную от y"(x):

$$y""(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{3(x^2+1{)}^{-1}-3x(-2x(x^2+1{)}^{-2})}{(x^2+1{)}^2}\right)$$

Мы должны применить правило производной частного еще раз, чтобы найти производную числителя и знаменателя. Начнем с числителя:

$$\frac{d}{dx}(3(x^2+1{)}^{-1}-3x(-2x(x^2+1{)}^{-2}))=\frac{d}{dx}(3(x^2+1{)}^{-1}+6x^2(x^2+1{)}^{-2})$$

Для удобства разделения производных, можем представить числитель как сумму двух функций: $u(x)=3(x^2+1{)}^{-1}$ и $v(x)=6x^2(x^2+1{)}^{-2}$.

Теперь найдем производные функций u(x) и v(x):

$$u"(x)=\frac{d}{dx}(3(x^2+1{)}^{-1})=-\frac{6x}{(x^2+1{)}^2}$$
$$v"(x)=\frac{d}{dx}(6x^2(x^2+1{)}^{-2})=\frac{6(3x^4-2x^2-1)}{(x^2+1{)}^3}$$

Теперь мы можем заменить значения производных в формуле для числителя:

$$\frac{d}{dx}(3(x^2+1{)}^{-1}+6x^2(x^2+1{)}^{-2})=-\frac{6x}{(x^2+1{)}^2}+\frac{6(3x^4-2x^2-1)}{(x^2+1{)}^3}$$

Далее найдем производную знаменателя:

$$\frac{d}{dx}((x^2+1{)}^2)=2(x^2+1)(2x)$$

Теперь мы можем заменить значения производных числителя и знаменателя в формуле для y""(x):

$$y""(x)=\frac{-\frac{6x}{(x^2+1{)}^2}+\frac{6(3x^4-2x^2-1)}{(x^2+1{)}^3}}{2(x^2+1)(2x)}$$

Данное уравнение представляет значение второй производной y""(x) функции y(x). Если вы хотите, чтобы я упростил это уравнение еще дальше, скажите мне, и я с удовольствием сделаю это.