Чему равно значение производной y (x), если y(x) = 3x/(x^2+1)?

Скользящий_Тигр_4493

38

Для решения этой задачи мы воспользуемся правилом дифференцирования функции по правилу производной частного. Давайте найдем производные каждой части уравнения.

Начнем с первой производной функции y(x):

\[y"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)\]

Для удобства дифференцирования, можно представить функцию как произведение двух функций: \( u(x) = 3x \) и \( v(x) = (x^2+1)^{-1} \).

Применим правило производной частного, которое гласит: если у нас есть две функции u(x) и v(x), производная их частного равна

\[\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u"(x)v(x) - u(x)v"(x)}{(v(x))^2}\]

Теперь найдем производные функций u(x) и v(x):

\[u"(x) = \frac{d}{dx}(3x) = 3\]
\[v"(x) = \frac{d}{dx}((x^2+1)^{-1}) = -2x(x^2+1)^{-2}\]

Теперь мы можем заменить значения производных в формуле для y"(x):

\[y"(x) = \frac{3(x^2+1)^{-1} - 3x(-2x(x^2+1)^{-2})}{(x^2+1)^2}\]

Далее, чтобы найти вторую производную, возьмем производную от y"(x):

\[y""(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3(x^2+1)^{-1} - 3x(-2x(x^2+1)^{-2})}{(x^2+1)^2}\right)\]

Мы должны применить правило производной частного еще раз, чтобы найти производную числителя и знаменателя. Начнем с числителя:

\[\frac{d}{dx}\left(3(x^2+1)^{-1} - 3x(-2x(x^2+1)^{-2})\right) = \frac{d}{dx}\left(3(x^2+1)^{-1} + 6x^2(x^2+1)^{-2}\right)\]

Для удобства разделения производных, можем представить числитель как сумму двух функций: \( u(x) = 3(x^2+1)^{-1} \) и \( v(x) = 6x^2(x^2+1)^{-2} \).

Теперь найдем производные функций u(x) и v(x):

\[u"(x) = \frac{d}{dx}\left(3(x^2+1)^{-1}\right) = -\frac{6x}{(x^2+1)^2}\]
\[v"(x) = \frac{d}{dx}\left(6x^2(x^2+1)^{-2}\right) = \frac{6(3x^4-2x^2-1)}{(x^2+1)^3}\]

Теперь мы можем заменить значения производных в формуле для числителя:

\[\frac{d}{dx}\left(3(x^2+1)^{-1} + 6x^2(x^2+1)^{-2}\right) = -\frac{6x}{(x^2+1)^2} + \frac{6(3x^4-2x^2-1)}{(x^2+1)^3}\]

Далее найдем производную знаменателя:

\[\frac{d}{dx}\left((x^2+1)^2\right) = 2(x^2+1)(2x)\]

Теперь мы можем заменить значения производных числителя и знаменателя в формуле для y""(x):

\[y""(x) = \frac{-\frac{6x}{(x^2+1)^2} + \frac{6(3x^4-2x^2-1)}{(x^2+1)^3}}{2(x^2+1)(2x)}\]

Данное уравнение представляет значение второй производной y""(x) функции y(x). Если вы хотите, чтобы я упростил это уравнение еще дальше, скажите мне, и я с удовольствием сделаю это.