Через точки a и b треугольника abc проходит окружность, и она пересекает стороны bc и ac в точках k и l соответственно

Цветок

32

Задача: Определите радиус окружности, проходящей через точки A и B треугольника ABC, которая пересекает стороны BC и AC в точках K и L соответственно. Известно, что треугольник ABC подобен треугольнику CKL, угол BCA равен 45 градусов, площадь четырёхугольника ABKL в 3 раза больше площади треугольника CKL, а также KL равно 2.

Решение:
Для начала, обратимся к подобию треугольников ABC и CKL. По определению, подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Обозначим радиус окружности как R.

Так как точка K лежит на стороне BC, сегмент BK должен равняться сегменту KC. Подобно, так как точка L лежит на стороне AC, сегмент AL должен равняться сегменту LC. После установления этого факта, мы можем найти соотношения между сторонами треугольников ABC и CKL.

Треугольник ABC подобен треугольнику CKL, поэтому можно записать следующие пропорции:
\[\frac{BC}{CK} = \frac{AC}{CL} = \frac{AB}{KL}\]

Мы знаем, что KL равно 2. Значит, мы можем записать эту пропорцию как:
\[\frac{BC}{CK} = \frac{AC}{CL} = \frac{AB}{2}\]

Далее, площадь четырёхугольника ABKL в 3 раза больше площади треугольника CKL. Обозначим площадь треугольника CKL как S. Тогда площадь четырёхугольника ABKL равна 3S.

Площадь треугольника CKL можно найти, используя формулу Герона:
\[S_{CKL} = \sqrt{p(p-CK)(p-CL)(p-KL)}\]
где p - полупериметр треугольника CKL, а CK, CL и KL - стороны треугольника CKL.

Так как KL равно 2, наша формула для площади треугольника CKL принимает вид:
\[S_{CKL} = \sqrt{p(p-CK)(p-CL)(p-2)}\]

Теперь мы имеем два уравнения:
\[\frac{BC}{CK} = \frac{AC}{CL} = \frac{AB}{2}\]
и
\[3S_{CKL} = S_{ABKL}\]

Для удобства, давайте обозначим BC как a, AC как b и AB как c.

Первое уравнение можно переписать в виде:
\[\frac{a}{CK} = \frac{b}{CL} = \frac{c}{2}\]

Теперь заменим CK и CL во втором уравнении на выражения, полученные из первого уравнения:
\[3\sqrt{p(p-\frac{ac}{2})(p-\frac{bc}{2})(p-2)} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Квадрат обоих частей уравнения:
\[9p(p-\frac{ac}{2})(p-\frac{bc}{2})(p-2) = p(p-a)(p-b)(p-c)\]

Сокращаем общие множители и разделим обе части на p:
\[9(p-\frac{ac}{2})(p-\frac{bc}{2})(p-2) = (p-a)(p-b)(p-c)\]

Раскроем скобки:
\[9(p^3 - 2p^2 - \frac{5acp}{2} + abc) = p^3 - (a+b+c)p^2 + (ab+ac+bc)p - abc\]

Объединяем подобные слагаемые:
\[9p^3 - 18p^2 - \frac{45acp}{2} + 9abc = p^3 - ap^2 - bp^2 - cp^2 + abp + acp + bcp - abc\]

Упрощаем уравнение:

\[8p^3 - abp - acp - bcp - 5abc + 18p^2 - 45acp - 9abc = 0\]

Разделим обе части на p:
\[8p^2 - ab - ac - bc - 5bc + 18p - 45ac - 9ab = 0\]

Перепишем уравнение в виде квадратного трехчлена:
\[8p^2 + (18 - 9a - 45c)p - ab - ac - bc - 5bc - 9ab = 0\]

Теперь решим данное квадратное уравнение относительно переменной p:
\[p = \frac{-(18 - 9a - 45c) \pm \sqrt{(18 - 9a - 45c)^2 - 4(8)(- ab - ac - bc - 5bc - 9ab)}}{2(8)}\]

\[p = \frac{-9(2 - a - 5c) \pm \sqrt{(18 - 9a - 45c)^2 - 32(ab + ac + bc + 5bc + 9ab)}}{16}\]

Дальше мы можем заметить, что правый аргумент sqrt в формуле имеет корни -10 и 2. Поэтому можно записать:
\[p = \frac{-9(2 - a - 5c) \pm \sqrt{(-10 + 2)^2}}{16}\]

\[p = \frac{-9(2 - a - 5c) \pm \sqrt{100}}{16}\]

\[p = \frac{-9(2 - a - 5c) \pm 10}{16}\]

Теперь разберем два случая:

1. Если \(p = \frac{-9(2 - a - 5c) + 10}{16}\), тогда радиус R будет равен:
\[R = \frac{a}{2 \sin{\frac{BCA}{2}}} = \frac{a}{2 \sin{\frac{45}{2}}} = \frac{a}{2 \sin{22.5}}\]

2. Если \(p = \frac{-9(2 - a - 5c) - 10}{16}\), тогда радиус R будет равен:
\[R = \frac{a}{2 \sin{\frac{BCA}{2}}} = \frac{a}{2 \sin{\frac{45}{2}}} = \frac{a}{2 \sin{22.5}}\]

Наши случаи совпадают, следовательно радиус окружности будет равен:
\[R = \frac{a}{2 \sin{22.5}}\]

Заметим теперь, что угол BCA лежит в четвертой четверти тригонометрической окружности, и его синус можно представить следующим образом:
\[\sin{45} = \sin{(90 - 45)} = \sin{90} \cos{45} - \cos{90} \sin{45} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Следовательно, радиус окружности будет:
\[R = \frac{a}{2 \sin{22.5}} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{AB}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{2}c}{2} = \sqrt{10 - 4 \sqrt{2}}\]

Ответ: радиус окружности, проходящей через точки A и B треугольника ABC и пересекающей стороны BC и AC в точках K и L соответственно, равен \(\sqrt{10 - 4 \sqrt{2}}\).