Что будет, если возвести 36 в степень log6 (корень 3 + корень 10) - 3log9 ((3 - корень 10)^2)?

Картофельный_Волк_8211

46

Для начала давайте разберемся с выражением в скобках: корень 3 + корень 10.
Мы можем представить его в виде суммы корней: \(\sqrt{3} + \sqrt{10}\).

Теперь давайте рассмотрим вторую часть вашего выражения: \(3 - \sqrt{10}\).
Мы можем возвести это выражение в квадрат: \((3 - \sqrt{10})^2\).
Раскрывая скобки, мы получим:

\((3 - \sqrt{10})^2 = (3 - \sqrt{10})(3 - \sqrt{10})\).

Применим правило раскрытия скобок: первый множитель умножается на каждый член второго множителя, и результаты суммируются. Получится следующее:

\((3 - \sqrt{10})(3 - \sqrt{10}) = 3 \cdot 3 - 3 \cdot \sqrt{10} - 3 \cdot \sqrt{10} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{10}\).

Продолжим упрощение:

\(\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 10\) (поскольку корень из 10 умноженный сам на себя равен 10).

Теперь соберем все вместе:

\((3 - \sqrt{10})^2 = 9 - 6\sqrt{10} + 10\).

Простое сложение дает нам следующий результат:

\((3 - \sqrt{10})^2 = 19 - 6\sqrt{10}\).

Перейдем к следующей части задачи: \(log_9((3 - \sqrt{10})^2)\).
Здесь мы вычисляем логарифм по основанию 9 от выражения \((3 - \sqrt{10})^2\).

По определению логарифма: \(log_b(a)\) это число, возводимое в степень b, чтобы получить a.
В нашем случае b = 9 и a = \((3 - \sqrt{10})^2\),

Таким образом, \(log_9((3 - \sqrt{10})^2)\) равно степени 9, при которой получится \((3 - \sqrt{10})^2\).
Выражение \((3 - \sqrt{10})^2\) мы уже вычислили ранее и получили 19 - 6\sqrt{10}.

Теперь рассмотрим первую часть задачи: \(log_6(\sqrt{3} + \sqrt{10})\).
Мы должны найти логарифм по основанию 6 от выражения \(\sqrt{3} + \sqrt{10}\).

Теперь возникает вопрос, какой показатель степени 6 нам нужен, чтобы получить \(\sqrt{3} + \sqrt{10}\).
Подсказка: помните, что логарифм - это обратная операция возведения в степень.

Мы можем представить \(\sqrt{3} + \sqrt{10}\) как \(\sqrt{3} + \sqrt{10} \cdot 1\).
Заметим, что \(\sqrt{10} \cdot 1 = \sqrt{10}\).
Таким образом, выражение можно переписать как \(\sqrt{3} + \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}\).

Теперь мы получили корень из 6 в числителе под знаком суммы.
Вспомним свойство корня: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\).

Применяя это свойство, мы получаем: \(\sqrt{3} + \sqrt{60} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{60} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{60 \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{10}\).

Таким образом, \(\sqrt{3} + \sqrt{10} = \sqrt{6}\).

Теперь мы можем перейти к итоговому вычислению задачи:

\(36^{log_6(\sqrt{3} + \sqrt{10}) - 3 \cdot log_9((3 - \sqrt{10})^2)} = 36^{log_6(\sqrt{6}) - 3 \cdot log_9(19 - 6\sqrt{10})}\).

Теперь мы можем использовать свойство логарифма:

\(b^{log_b(a)} = a\).

Применяя это свойство, получаем:

\(36^{log_6(\sqrt{6}) - 3 \cdot log_9(19 - 6\sqrt{10})} = \sqrt{6} - 3 \cdot (19 - 6\sqrt{10})\).

Продолжаем упрощение:

\(\sqrt{6} - 3 \cdot (19 - 6\sqrt{10}) = \sqrt{6} - 57 + 18\sqrt{10}\).

Таким образом, итоговый ответ на задачу будет:

\(\sqrt{6} - 57 + 18\sqrt{10}\).