Что делать, если дискриминант не имеет квадратного корня?

Zagadochnyy_Les

61

Если дискриминант в квадратном уравнении не имеет квадратного корня, то это означает, что уравнение не имеет вещественных корней. В таком случае, решение уравнения можно найти с помощью комплексных чисел.

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) выглядит следующим образом:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

где \(D\) - дискриминант, определяемый как \(D = b^2 - 4ac\).

Если дискриминант имеет отрицательное значение (\(D < 0\)), то корни этого уравнения будут комплексными числами - комплексно-сопряженными парами.

Комплексное число имеет вид \(a + bi\), где \(a\) - вещественная часть, а \(bi\) - мнимая часть числа. Здесь \(i\) - мнимая единица, такая что \(i^2 = -1\).

Таким образом, для уравнения с отрицательным дискриминантом, чтобы найти корни, мы заменяем знак квадратного корня на \(i\sqrt{|D|}\):

\[x_1 = \frac{{-b + i\sqrt{|D|}}}{{2a}}, \quad x_2 = \frac{{-b - i\sqrt{|D|}}}{{2a}}\]

Давайте рассмотрим пример, чтобы легче понять:

Пусть у нас есть уравнение \(x^2 + 4 = 0\).

Сначала находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16\]

Видим, что дискриминант отрицательный (\(D < 0\)). Значит, у уравнения нет вещественных корней. Используя формулы для комплексных корней, получаем:

\[x_1 = \frac{{-0 + i\sqrt{|-16|}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{i \cdot 4}}{{2}} = 2i\]
\[x_2 = \frac{{-0 - i\sqrt{|-16|}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{-i \cdot 4}}{{2}} = -2i\]

Таким образом, решением уравнения \(x^2 + 4 = 0\) являются комплексные числа \(2i\) и \(-2i\).