Что есть наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-27x на интервале (-1

Ariana

21

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - 27x\) на интервале \((-1, 3)\), следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции \(f(x)\), которые находятся внутри данного интервала. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или неопределена.

Для начала, найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = 3x^2 - 27\]

Затем, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[3x^2 - 27 = 0\]

Раскрыв скобки, получим:
\[3(x^2 - 9) = 0\]

Получаем два возможных значения для \(x\):
\[x_1 = -3, \quad x_2 = 3\]

2. Проверим значения функции \(f(x)\) на концах интервала \((-1, 3)\).

Вычислите \(f(-1)\):
\[f(-1) = (-1)^3 - 27(-1) = -1 + 27 = 26\]

Вычислите \(f(3)\):
\[f(3) = (3)^3 - 27(3) = 27 - 81 = -54\]

3. Теперь сравним все найденные значения функции \(f(x)\) (критические точки и значения на концах интервала), чтобы определить наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшим значением функции \(f(x)\) на интервале \((-1, 3)\) будет самое большое из всех полученных значений:
\(\max(f(x)) = 26\) (при \(x = -1\))

Наименьшим значением функции \(f(x)\) будет самое маленькое из всех полученных значений:
\(\min(f(x)) = -54\) (при \(x = 3\))

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) на интервале \((-1, 3)\) равно 26, а наименьшее значение равно -54.