Что наибольшее количество прямых можно нарисовать на плоскости так, чтобы из любых 13 из них можно было выбрать

Volshebnyy_Leprekon_3997

9

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим несколько примеров и обобщим наблюдения для построения общего ответа.

Для начала, построим несколько прямых на плоскости и попробуем выбрать две прямые, образующие прямой угол. Допустим, мы начнем с одной прямой. Затем возьмем вторую прямую, проходящую через точку пересечения первой прямой и с ней образуя прямой угол. Теперь добавим третью прямую, проходящую через один из концов первой прямой и с ней также образующую прямой угол. Можно продолжить этот процесс, добавляя прямые через точки пересечения уже построенных прямых и вновь образуя прямой угол с каждой из них.

Теперь давайте рассмотрим, что произойдет, когда мы добавим еще одну прямую. Та самая прямая должна пересекаться с каждой из уже построенных прямых. Если мы хотим, чтобы из любых двух прямых можно было выбрать две, образующие прямой угол, то новая прямая должна пересекаться со всеми предыдущими прямыми. То есть, все предыдущие прямые должны пересекаться в одной точке или в парах по две прямые.

Вспомним, что мы начали с одной прямой, затем добавили вторую. Это две прямые. Добавляем третью прямую, она пересекается с каждой из двух предыдущих, то есть у нас получается 3 пересечения. Добавляем четвертую прямую и так далее. Обратим внимание, что для каждой новой прямой число пересечений увеличивается на количество предыдущих прямых.

Итак, при добавлении \(n\) прямых, первая прямая не пересекается ни с одной из них. Вторая прямая пересекается уже с одной прямой. Третья прямая пересекается с двумя уже построенными и т.д. Для \(n\) прямых, общее количество пересечений будет суммой первых \((n - 1)\) натуральных чисел: \(1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)\). Мы можем записать это как

\[\sum_{k=1}^{n-1} k.\]

Сумма первых \(n\) натуральных чисел известна и выражается формулой

\[\frac{{n \cdot (n - 1)}}{2}.\]

Теперь мы должны найти наибольшее \(n\), при котором \(\frac{{n \cdot (n - 1)}}{2} < 13\). Подставив различные значения для \(n\), мы находим, что при \(n = 6\) получаем \(\frac{{6 \cdot 5}}{2} = 15\), что больше, чем 13. Однако, при \(n = 5\) получаем \(\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10\), что меньше 13.

Итак, наибольшее количество прямых, удовлетворяющее условиям задачи, равно 5. Мы можем нарисовать 5 прямых так, чтобы из любых 13 прямых можно было выбрать две, образующие прямой угол.