Что нужно сделать с выражением (s2−3s+9/9s2−1⋅3s2+s/s3+27−s+3/3s2−s): 4/s2+3s−15s+6/4−12s?

Звёздочка

51

Давайте разберемся с выражением постепенно, чтобы убедиться, что ответ будет понятен.

Итак, дано выражение: \(\frac{{s^2 - 3s + \frac{9}{{9s^2 - 1}} \cdot (3s^2 + s)}}{{s^3 + 27 - s + \frac{3}{{3s^2 - s}}}} : \frac{{4}}{{s^2 + 3s - 15s + 6}}.\)

Давайте начнем с упрощения каждой части данного выражения.

1. Упростим числитель:

\(\frac{9}{{9s^2 - 1}} \cdot (3s^2 + s) = \frac{{27s^2 + 9s}}{{9s^2 - 1}}.\)

Теперь заменим числитель и домножим на обратную величину знаменателя:

\((s^2 - 3s) + \frac{{27s^2 + 9s}}{{9s^2 - 1}} = \frac{{(s^2 - 3s)(9s^2 - 1) + 27s^2 + 9s}}{{9s^2 - 1}}.\)

Упростим числитель:

\((s^2 - 3s)(9s^2 - 1) + 27s^2 + 9s\)
\(= (9s^4 - 3s^3 - 9s^3 + 3s^2) + (27s^2 + 9s)\)
\(= 9s^4 - 12s^3 + 30s^2 + 9s.\)

2. Теперь упростим знаменатель:

\(s^3 + 27 - s + \frac{3}{{3s^2 - s}}\)
\(= s^3 - s + 27 + \frac{3}{{3s^2 - s}}.\)

3. Теперь упростим деление двух выражений:

\(\frac{{9s^4 - 12s^3 + 30s^2 + 9s}}{{s^3 - s + 27 + \frac{3}{{3s^2 - s}}}} : \frac{4}{{s^2 + 3s - 15s + 6}}.\)

Разделим числитель и знаменатель наибольшей общей степенью переменной s, чтобы упростить деление и сократить переменные насколько возможно.

Числитель: \(9s^4 - 12s^3 + 30s^2 + 9s\), знаменатель: \(s^3 - s + 27 + \frac{3}{{3s^2 - s}}\).

4. Разделим числитель и знаменатель на \(s^2\):

\(\frac{{9s^4 - 12s^3 + 30s^2 + 9s}}{{s^3 - s + 27 + \frac{3}{{3s^2 - s}}}} : \frac{4}{{s^2 + 3s - 15s + 6}}\)
\(= \frac{{s^2(9s^2 - 12s + 30) + 9s}}{{s^2(s - 1) + 27 + \frac{3}{{3s^2 - s}}}} : \frac{4}{{(s - 3)(s + 2)}}.\)

Видим, что \(s^2\) вчислен вычислить. Давайте продолжим упрощение:

\(\frac{{9s^2 - 12s + 30 + \frac{9s}}{{s - 1 + \frac{27}{{s^2 - \frac{s}{3}}} : \frac{4}{{(s - 3)(s + 2)}}}}}{s^2}\).

5. Упростим выражение внутри знаменателя:

Разделим \(27\) на \(\frac{1}{(s^2 - \frac{s}{3})}\):

\(\frac{27}{{s^2 - \frac{s}{3}}} = 27 \cdot \frac{3}{s(3 - \frac{1}{s^2})} = \frac{81}{(3 - \frac{1}{s^2})}\).

Заменим это обратно в наше выражение:

\(\frac{{9s^2 - 12s + 30 + \frac{9s}}{{s - 1 + \frac{81}{(3 - \frac{1}{s^2})}}} : \frac{4}{{(s - 3)(s + 2)}}\).

6. Дальше упростим числитель:

Прибавим \(\frac{9s}{s - 1}\) к \(\frac{9s^2 - 12s + 30}{s - 1}\):

\(\frac{9s^2 - 12s + 30 + \frac{9s}{s - 1}}{s - 1 + \frac{81}{(3 - \frac{1}{s^2})}}\).

7. Продолжим упрощение знаменателя:

Приведем \(\frac{81}{(3 - \frac{1}{s^2})}\) к общему знаменателю:

\(\frac{81}{(3 - \frac{1}{s^2})} = \frac{81s^2}{(3s^2 - 1)}\).

Заменим его в нашем выражении:

\(\frac{9s^2 - 12s + 30 + \frac{9s}{s - 1}}{s - 1 + \frac{81s^2}{(3s^2 - 1)}} : \frac{4}{{(s - 3)(s + 2)}}\).

8. Упростим еще числитель:

Запишем \(\frac{9s}{s - 1}\) как \(\frac{9s^2 - 9s}{s - 1}\) и применим то же к числителю:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{s - 1 + \frac{81s^2}{(3s^2 - 1)}} : \frac{4}{{(s - 3)(s + 2)}}\).

9. Объединим выражение:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{s - 1 + \frac{81s^2}{(3s^2 - 1)}} \cdot \frac{(s - 3)(s + 2)}{4}\).

10. Факторизуем:

Раскроем скобки в \((s - 3)(s + 2)\):

\((s - 3)(s + 2) = s^2 - s - 6\).

Теперь распишем \(\frac{81s^2}{3s^2 - 1}\):

Раскроем скобки: \(\frac{81s^2}{3s^2 - 1} = \frac{81s^2}{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1)}\).

11. Подставим это обратно в наше выражение:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{s - 1 + \frac{81s^2}{(3s^2 - 1)}} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\).

12. Приведем знаменатель в общий вид:

\(s - 1 + \frac{81s^2}{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1)} = \frac{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1) + 81s^2}{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1)}}\).

13. Упростим числитель:

\((s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1) + 81s^2\)
\(= s^2\sqrt{3} - s\sqrt{3} + s\sqrt{3} - 1 + 81s^2\)
\(= s^2\sqrt{3} + 81s^2 - 1\).

14. Подставим это назад в выражение:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{\frac{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1) + 81s^2}{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1)}} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\).

15. Приведем выражение к общему знаменателю:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{\frac{s^2\sqrt{3} + 81s^2 - 1}{(s\sqrt{3} - 1)(s\sqrt{3} + 1)}} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\).
\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{\frac{s^2\sqrt{3} + 81s^2 - 1}{s^2\sqrt{3} - s\sqrt{3} + s\sqrt{3} - 1}} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\).

16. Упростим деление дробей:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{\frac{s^2\sqrt{3} + 81s^2 - 1}{s^2\sqrt{3} - 1}} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\).
\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{\frac{s^2\sqrt{3} + 81s^2 - 1}{s^2\sqrt{3} - 1}} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\)
\(= \frac{(9s^2 - 9s + 30) \cdot (s^2\sqrt{3} - 1)}{(s^2 \sqrt{3} + 81s^2 - 1) \cdot (s^2 - s - 6)} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\).

17. Умножим числители и знаменатели дроби и сократим подобные слагаемые:

\(\frac{(9s^2 - 9s + 30) \cdot (s^2\sqrt{3} - 1)}{(s^2 \sqrt{3} + 81s^2 - 1) \cdot (s^2 - s - 6)} \cdot \frac{s^2 - s - 6}{4}\)
\(= \frac{(9s^2 - 9s + 30) \cdot (s^2\sqrt{3} - 1) \cdot (s^2 - s - 6)}{(s^2 \sqrt{3} + 81s^2 - 1) \cdot (s^2 - s - 6) \cdot 4}\).

18. Заметим, что \(s^2 - s - 6\) сокращается в числителе и знаменателе:

\(\frac{9s^2 - 9s + 30}{(s^2 \sqrt{3} + 81s^2 - 1) \cdot 4}\)
\(= \frac{9s^2 - 9s + 30}{4(s^2 \sqrt{3} + 81s^2 - 1)}\).

Итак, мы получили ответ на задачу: \(\frac{9s^2 - 9s + 30}{4(s^2 \sqrt{3} + 81s^2 - 1)}\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять процесс упрощения данного выражения.