Что представляет собой область определения функции y=корень 2cosx-1?

Iskander

38

Функция \(y = \sqrt{2\cos(x) - 1}\) имеет определенные ограничения на входные значения переменной \(x\), называемые областью определения. Чтобы выяснить, какие значения можно использовать для \(x\), нужно учесть два фактора: диапазон значений функции \(\cos(x)\) и ограничение для извлечения квадратного корня.

Первый шаг - рассмотреть диапазон значений \(\cos(x)\). Функция косинуса изменяется между -1 и 1. Таким образом, \(2\cos(x) - 1\) будет принимать значения в диапазоне от -3 до 1.

Второй шаг - учесть ограничения для извлечения квадратного корня. Корень из числа \(x\) действителен только в том случае, если \(x\) больше или равно нулю. Если мы применим это к нашему выражению \(2\cos(x) - 1\), получим следующее условие:
\[2\cos(x) - 1 \geq 0\]

Теперь решим это неравенство. Сначала добавим 1 к обеим сторонам:
\[2\cos(x) \geq 1\]

Затем разделим обе стороны на 2:
\[\cos(x) \geq \frac{1}{2}\]

Для решения этого неравенства можно использовать график функции косинуса или таблицу значений. Мы заметим, что \(\cos(x)\) превышает \(\frac{1}{2}\) в двух интервалах на окружности: от \(0\) до \(\frac{\pi}{3}\) и от \(\frac{5\pi}{3}\) до \(2\pi\).

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{2\cos(x) - 1}\) будет состоять из всех значений \(x\), для которых выполнено одно из следующих условий:
\[x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, 2\pi]\]