Как решить уравнение 5cos^2x+6cosx−8=0? Каковы корни уравнения?

Загадочный_Убийца_8870

40

Для решения уравнения \(5\cos^2x+6\cos x-8=0\) мы воспользуемся методом замены переменной. Обозначим \(\cos x\) за \(t\), чтобы упростить уравнение. Теперь у нас есть уравнение вида \(5t^2+6t-8=0\).

Чтобы найти корни этого уравнения, мы воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения: \(t=\frac{{-b\pm\sqrt{{b^2-4ac}}}}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

Сравнивая соответствующие коэффициенты, мы видим что \(a=5\), \(b=6\) и \(c=-8\). Подставляя эти значения в формулу, получим:

\[t=\frac{{-6\pm\sqrt{{6^2-4\cdot5\cdot(-8)}}}}{2\cdot5}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[t=\frac{{-6\pm\sqrt{{36+160}}}}{10}\]

\[t=\frac{{-6\pm\sqrt{{196}}}}{10}\]

\[t=\frac{{-6\pm 14}}{10}\]

Теперь можем найти два возможных значения t:

1. \(t=\frac{{-6+14}}{10}=\frac{8}{10}=0.8\)
2. \(t=\frac{{-6-14}}{10}=\frac{-20}{10}=-2\)

Таким образом, мы нашли два значения \(\cos x\): \(t=0.8\) и \(t=-2\).

Далее нам нужно найти соответствующие значения \(x\), используя обратную функцию косинуса. Так как косинус имеет ограниченный диапазон значений (\(-1 \leq \cos x \leq 1\)), только первое значение \(t=0.8\) может быть допустимым.

Таким образом, мы получаем, что \(\cos x = 0.8\). Для нахождения \(x\) воспользуемся обратной функцией косинуса:

\[x = \arccos 0.8\]

\[x \approx 0.6435\]

Итак, корень уравнения \(5\cos^2x+6\cos x-8=0\) равен \(x \approx 0.6435\) и \(\cos x = 0.8\).