Что является коэффициентом при ×3 в разложении (3-2×)4?

Щука

22

Разложение выражения \((3-2x)^4\) можно выполнить с использованием биномиальной теоремы. Данное выражение представляет собой возведение двучлена в четвертую степень.

Согласно биномиальной теореме, разложение данного выражения будет иметь вид:

\[(3-2x)^4 = \binom{4}{0} \cdot (3)^4 \cdot (-2x)^0 + \binom{4}{1} \cdot (3)^3 \cdot (-2x)^1 + \binom{4}{2} \cdot (3)^2 \cdot (-2x)^2 + \binom{4}{3} \cdot (3)^1 \cdot (-2x)^3 + \binom{4}{4} \cdot (3)^0 \cdot (-2x)^4\]

Теперь давайте раскроем каждое слагаемое отдельно:

1. Первое слагаемое:
\(\binom{4}{0} \cdot (3)^4 \cdot (-2x)^0 = 1 \cdot 3^4 \cdot (-2x)^0 = 81\)

2. Второе слагаемое:
\(\binom{4}{1} \cdot (3)^3 \cdot (-2x)^1 = 4 \cdot 3^3 \cdot (-2x)^1 = -216x\)

3. Третье слагаемое:
\(\binom{4}{2} \cdot (3)^2 \cdot (-2x)^2 = 6 \cdot 3^2 \cdot (-2x)^2 = 216x^2\)

4. Четвертое слагаемое:
\(\binom{4}{3} \cdot (3)^1 \cdot (-2x)^3 = 4 \cdot 3^1 \cdot (-2x)^3 = -216x^3\)

5. Пятое слагаемое:
\(\binom{4}{4} \cdot (3)^0 \cdot (-2x)^4 = 1 \cdot 3^0 \cdot (-2x)^4 = 16x^4\)

Таким образом, разложение выражения \((3-2x)^4\) будет иметь вид:

\((3-2x)^4 = 81 - 216x + 216x^2 - 216x^3 + 16x^4\)

Теперь ответим на заданную вопрос: коэффициент при \(x^3\) в данном разложении равен -216.