Дайте доказ, що трикутник з вершинами A(3,-2,1) B(-2,1,3) C(1,3,-2) є рівностороннім. Знайдіть довжину медіани

Звездопад_В_Небе

31

Для доказательства, что треугольник ABC является равносторонним, нам нужно показать, что все его стороны имеют одинаковую длину.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника:

Длина стороны AB:
AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
= √((-2 - 3)² + (1 - (-2))² + (3 - 1)²)
= √((-5)² + (3)² + (2)²)
= √(25 + 9 + 4)
= √38

Длина стороны BC:
BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
= √((1 - (-2))² + (3 - 1)² + ((-2) - 3)²)
= √((3)² + (2)² + (-5)²)
= √(9 + 4 + 25)
= √38

Длина стороны AC:
AC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
= √((1 - 3)² + (3 - (-2))² + ((-2) - 1)²)
= √((-2)² + (5)² + (-3)²)
= √(4 + 25 + 9)
= √38

Как видно из вычислений, длины всех сторон треугольника AB, BC и AC равны √38.

Шаг 2: Докажем, что треугольник ABC является равносторонним:

В равностороннем треугольнике все стороны равны друг другу. Таким образом, если стороны AB, BC и AC имеют одинаковую длину, то треугольник является равносторонним.

Исходя из вычислений в шаге 1, мы видим, что длины сторон треугольника AB, BC и AC равны √38. Значит, все стороны равны друг другу, и треугольник ABC является равносторонним.

Длина медианы треугольника:
Медиана треугольника определяется как линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Длина медианы в равностороннем треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:

Медиана = (√3 / 2) * Сторона

Так как в нашем треугольнике все стороны равны √38, то длина медианы будет:

Медиана = (√3 / 2) * √38

Теперь остается только вычислить эту формулу:

Медиана = (1.732 / 2) * √38
= 0.866 * √38
≈ 5.685

Итак, длина медианы треугольника ABC, составленного из точек A(3,-2,1), B(-2,1,3) и C(1,3,-2), равна примерно 5.685.